Lexikon der Argumente

Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
[englisch]


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III 389ff
Axiome/unendlich/Kripke: Bei unendlichen Axiomen sind nicht mehr alle Tarski-Sätze ableitbar.
Beweis/Kripke: Kripke hat nur endlich viele Schritte und zitiert nur endlich viele Axiome - sonst gilt die Regel (Beweisregel): "implizite Definition" (Hilbert: "Welche Axiome sind gültig?" >Regelfolgen/Kripke.
III 389
Unendlich/Axiome/Kripke: Aus einer unendlichen Menge der W-Sätze T(f) ↔ f kann man nicht die Tarski-Sätze für beliebige f ableiten, Bsp angenommen, wir addieren zur Zahlentheorie ein einfaches Prädikat P(x) und nehmen P(0), P(1),P(2), ... als zahlentheoretische Axiome. Diese neuen Axiome haben die Kraft, dass P(x) für jede Zahl gilt - folgt dann (x)P(x) noch den normalen Deduktionsregeln? Nein, ein Beweis zitiert nur endlich viele Axiome.
Reductio ad absurdum: Wenn (x)P(x) deduzierbar (ableitbar) wäre, müsste es von einer endlichen Anzahl von Axiomen ableitbar sein: P(m1)...P(mn). "m": m ist ein Zahlenname der formalen Sprache der Zahlentheorie, der die Zahl m denotiert. Es ist klar, dass er nicht von einer endlichen Anzahl von Axiomen ableitbar ist. Wenn wir P(x) als wahr von m1...mn definieren, wird jedes der endlichen vielen Axiome wahr sein, aber (x)P(x) wird falsch sein. Man weiß jede Instanz aber nicht die Verallgemeinerung. Das gilt aber auch für endliche Systeme!
III 390
Lösung: Man muss die Unendlichkeitsregel (z.B. Omega-Regeln) zulassen.
III 391
KripkeVsWallace: Dieselben Probleme gelten für die >referentielle Quantifikation.

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