Lexikon der Argumente

 

III 25
Axiome/Geometrie/Hilbert: Axiome kommen ohne reelle Zahlen aus. Quantoren: Quantoren gehen über Regionen des physikalischen Raums.
Prädikate: Prädikate sind unter anderem: "ist ein Punkt", "x ist zwischen y u z", "inklusives Zwischensein": d.h. es ist erlaubt, dass y = x oder y = z.
>Quantoren.
III 26
Segment-Kongruenz/Kongruenz: (statt Abstand) vier-stelliges Prädikat "xy cong zw" intuitiv: "der Abstand von Punkt x zu Punkt y ist derselbe wie der von Punkt z zu Punkt w".
Winkel-Kongruenz: sechs-stelliges Prädikat "xyz" W-Comg tuv": der Winkel xyz (mit y als Spitze) hat dieselbe Größe wie der Winkel tuv (mit u als Spitze). Pointe/Field: Abstand und Winkelgröße können gar nicht definiert werden, weil nicht über reelle Zahlen quantifiziert wird.
III 32
Addition/Multiplikation: Addition ist nicht in Hilberts Geometrie möglich (nur mit willkürlichem Nullpunkt und willkürlicher 1).
Lösung: Intervalle statt Punkten.
III 32 f
Hilbert/Geometrie/Axiome/Field: Multiplikation von Intervallen: ist nicht möglich, weil wir dazu ein willkürliches "Einheitsintervall" brauchen.
Lösung: Wir müssen Produkten von Intervallen vergleichen.
Verallgemeinerung/Field: Eine Verallgemeinerung ist dann möglich auf Produkte von Raumzeit-Intervallen mit skalaren Intervallen. ((s) Bsp Temperaturunterschied, Druckunterschied).
Field: Daher darf man Raumzeit-Punkte nicht als reelle Zahlen auffassen.
>Raumzeit-Punkte, >Reelle Zahlen.
III 42
Geometrie/Field:
a) metrisch: platonistisch, Quantifikation über reelle Zahlen (>Funktionen)
b) synthetisch: ohne reelle Zahlen: Bsp Hilbert, auch Euklid (weil dieser noch keine Theorie der reellen Zahlen hatte). - Das geht auch ohne Funktionen. - Vorteil: Wir brauchen keine externen, kausal irrelevanten Entitäten.
>Mathematische Entitäten, >Theoretische Entitäten.