Lexikon der Argumente

Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
[englisch]


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IX 237ff
Stärker/schwächer/Theorie/System/Quine: Problem: Vergleichbarkeit: versagt sie, wenn jedes der beiden Systeme Theoreme hat, die nicht in dem anderen zu finden sind - hängt auch an Zufälligkeiten der Interpretation und nicht an Struktur.
>Vergleiche, >Vergleichbarkeit.
Wenn wir die primitiven logischen Zeichen (also bei der Mengenlehre nur "e") so neu interpretieren können, dass wir damit alle Theoreme dieses Systems zu Übersetzungen der Theoreme des anderen Systems werden lassen, dann ist das letztgenannte System mindestens so stark wie das erste - wenn das nicht in der anderen Richtung geht, ist das eine System stärker als das andere.
>Systeme.
Def "Ordinale Stärke"/Mengenlehre: zahlenmäßiges Maß: die kleinste transfinite Ordinalzahlen, deren Existenz man im System nicht mehr beweisen kann - die kleinste transfinite Zahl nach dem Blockieren des Apparats gibt an, wie stark der Apparat war.
Relative Stärke/Beweistheorie: Gödel, Unvollständigkeitssatz: da die Zahlentheorie in der Mengenlehre entwickelt werden kann, bedeutet das, dass die Klasse aller Theoreme (in Wirklichkeit aller Gödelnummern von Theoremen) einer vorliegenden Mengenlehre in dieser selben Mengenlehre definiert werden kann, und verschiedene Dinge können darin über sie bewiesen werden.
>Unvollständigkeit/Gödel.
Man kann ausgehend von einer beliebigen Mengenlehre eine endlose Serie weiterer erzeugen kann, von denen jede im beweistheoretischen Sinne stärker ist als ihre Vorgängerinnen, und die wahr/falsch ist, wenn ihre Vorgängerinnen es waren.
Man muss nur via Gödelnummerierung ein neues arithmetisches Axiom des Inhalts hinzufügen, dass die vorangegangenen Axiome widerspruchsfrei sind - Ordinale Stärke: ist die Reichhaltigkeit des Universums.
>Gödelnummern.
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X 71
Metasprache/Mengenlehre/Quine: in der Metasprache (MS) ist eine stärkere Mengenlehre möglich als in der Objektsprache. In der Metasprache ist eine Menge z möglich, sodass gilt ERz - ((s) Eine Menge, die die Erfüllungsrelation ist (in Form einer Menge von geordneten Paaren) - in der Objektsprache nicht, sonst folgt Grellings Paradoxie.
>Grellings Paradoxie, >Metasprache, >Mengenlehre.

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