I 219
Nicht alle abstrakten Gegenstände sind Eigenschaften: Zahlen, Klassen, Funktionen, geometrische Figuren, Ideen, Möglichkeiten. - Wir müssen abstrakte Gegenstände aufgeben oder zurückführen und getreulich durch Gebrauch von "-heit" von konkreten Gegenständen unterscheiden!
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II 26
Zahlen: Quantifikation ist Vergegenständlichung, Ziffern Namen - Diagonalen: irrational, Umfang: transzendent.
Messen: Messskala: mehrstelliger allgemeiner Term, setzt physikalische Gegenstände in Beziehung zu reinen Zahlen.
Zählen: Messen einer Klasse
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Messen.
II 28
Zahlen/Ontologie: Zahlen sind bloß eine "facon de parler". - Höhere Klassen sind nötig, um Zahlen zu ersetzen - sonst nur physikalische Gegenstände.
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Ontologie/Quine.
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IX 54
Zahlen/Frege/Quine: wie Vorgänger (Ahne): Def Vorgänger/Frege: die gemeinsamen Elemente aller Klassen z, die die Anfangsbedingung: "y ε z" und eine Abgeschlossenheitsbedingung: die auf "a " "z < z" hinauslief, erfüllten - wobei a die Elternrelation ist.
Quine: Bis jetzt sagen wir noch nicht, dass Zahlen Klassen sind - unendliche Klassen vermeiden wir, wenn wir statt der Nachfolger- die Vorgängerrelation nehmen: {x: ∀z[(x ε z u ^S " "z < z) > 0 ε z]}.
Problem: Die Nachfolgerrelation könnte auch zu Dingen führen, die keine >Zahlen sind - Zahlen/Quine: werden wir vor allem als Maß für Vielfachheiten benutzen (so hatte Frege sie definiert) - a hat x Elemente" - das Schema geht auf Frege zurück: a hat 0 Elemente <> a = Λ. - a hat S°x Elemente ↔ Ey(y ε a ∩ _{y} hat x Elemente.
IX 59
Zahlen/Zermelo: (1908)
(1) nimmt Λ als 0 und dann {x} als S°x für jedes x. (d.h. "{x}" immer eins mehr als x! - {x} Nachfolger von x! - Als Zahlen erhalten wir dann Λ, {Λ},{{Λ}}..usw.
IX 59f
Zahlen/von Neumann: (1923)
(2) fasst jede natürliche Zahl als die Klasse der früheren Zahlen auf: 0 wird wieder Λ, - aber Nachfolger: S°x wird nicht {x}, sondern x U {x}. (vereinigt mit) - 1: wie bei Zermelo: gleich {Λ}, - aber 2: {0,1} oder {Λ,{Λ}}. - 3: {0,1,2} oder {Λ,{Λ},{Λ,{Λ,{Λ}}}, - für von Neumann besagt, dass a x Elemente hat, dass a ~ x. (Anzahl, gleichmächtig) - das ist gerade das "a ~ {y: y < x}" von Kap 11. denn für von Neumann ist x = {y: y < x}.
IX 60
Zahlen/Frege: ausschließlich Zahlen als Maßzahlen von Vielfachheiten. - Jede Zahl ist die Klasse aller Klassen, die diese Zahl von Elementen haben - Null/Frege: ist für ihn daher lieber {Λ} als Λ - Nachfolger: {z: Ey(y ε z ∧ z D _{y} ε x )}. (_{y} Komplement) - gleichmächtig: wie bei den anderen: "a hat x Elemente" wird durch
"a ~ {y : y
IX 60f
Zahlen/Quine: ich verwende Zermelos Version für 0 und S. nämlich Λ und i. - Schreibweise: "i" jetzt statt "S" für Nachfolger - "b <= a" oder "a >= b" steht für "z[(a e z u ^i " "z < z) > b ε z]" - "b <=a" oder "a > b" steht für "{b} <= a" - "N" steht für "{x: Λ <= x}" - "<=" : diese Relation ist reflexiv und transitiv! - x <= x. ("kann nicht größer sein") - x <= {x}. - x < {x}.
IX 203
Natürliche Zahlen/kumulative Typen/Quine: die Zermeloschen und von Neumannschen Zahlen fahren hier ein wenig besser als in Russells Typentheorie. Neumann: bei ihm war x U {x} Nachfolger von x und damit kommt er offenbar mit der Typentheorie in Konflikt.
Zermelo: Dito, wenn man zwei Zahlen, z.B. x und seinen Nachfolger, in eine Klasse stecken möchte - neu: mit der Tolerierung der endlichen Heterogenität in Klassen wird der Konflikt vermieden.
1. Zermelo, E. (1908). Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I. Mathematische Annalen, 65, 261-281. http://dx.doi.org/10.1007/BF01449999
2. Neumann, John von. (1923) Zur Einführung der transfiniten Zahlen; in: Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged); Band: 1; Nummer: 4; Seite(n): 199-208;
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XII 61
Zahlen/Russell: man braucht nicht zu entscheiden, was sie über die Arithmetik hinaus sind. - QuineVsRussell: jede Progression ist ein Modell der natürlichen Zahlen. - Aber sie sind nicht alle verträglich -" Bsp die Progression der geraden und der ungeraden Z. können nicht gleichgesetzt werden. - Daher sind nicht alle Dinge, die die Arithmetik erfüllen, Zahlen. - Man kann nicht absolut sagen, was Zahlen sind - nur relativ zu einer Rahmentheorie. >Zahlen/Frege.
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XIII 40
Dezimalzahlen/Dimidialzahlen/Dezimalsystem/Quine: Bsp en gros: kommt von „gross“ = 1 Dutzend mal 1 Dutzend.
score: = 20.
Dezimalsystem: Bsp
365 = 3 x 10² + 6 x 10
1 + 5 x 10
0.
XIII 41
Exponent/Hochzahlen/hoch Null/hoch 0: warum ist n
0 = 1 und nicht 0? Weil wir wollen, dass
n
m + n immer n
m x n ist. Bsp m = 0: dann ist n
1 = n
0, oder n = n
0 x
n; daher muss n
0 = 1 sein.
Dezimalsystem: die Positionen entsprechen einem eingebauten Abakus.
Komma/Dezimalkomma: wurde durch negative Exponenten inspiriert:
Bsp 3,65 = 3 x 100 + 6 10-1 + 5 x 10-2.
Zählen/Division: hatte vor diesem Durchbruch wenig miteinander zu tun. Denn Teilen geschah auf der Basis von Teilung durch 2, während gleichzeitig schon im Dezimalsystem gezählt wurde.
Reelle Zahlen: einige sind endlich, Bsp ½ = 0,5.
Dezimalzahlen: ihre Korrespondenz mit reellen Zahlen ist nicht perfekt: jede endliche Dezimalzahl ist zu einer unendlichen äquivalent: Bsp 5 zu ,4999…
Lösung: die Korrespondenz kann einfach dadurch perfekt gemacht werden, da man die „.5“ vergisst und an der „.4,999“ festhält.
Unendlich/unendliche Ausdehnung/Dezimalzahl/Quine: Bsp eine sechsstellige Dezimalzahl wie 4,237251 ist der Bruch (ratio) 4.237.251
1 Mio.
Unendliche Dezimalzahl: wird dann approximiert als Grenzwert durch die Reihe von Brüchen, die von immer längeren Brüchen, repräsentiert durch Abschnitte dieser Dezimalzahl.
Grenzwert: kann hier wieder ein Bruch sein Bsp ,333…, oder ,1428428… oder irrational Bsp im Fall von 3.14159 ((s) Pointe: hier erstmals eine Zahl vor dem Komma, weil die konkrete Zahl π).
XIII 42
Unendliche Dezimalzahlen/Quine: dürfen wir nicht als Ausdrücke ansehen! Und zwar, weil reelle Zahlen, die jegliche Ausdruckmittel übersteigen, ((s) behelfsmäßig) als unendliche Dezimalzahlen geschrieben werden. ((s) Also kann eine (notwendig endlich hingeschriebene Dezimalzahl) mehreren reellen Zahlen entsprechen).
Dezimalsystem/Quine: jede Zahl >= 2 könnte statt der 10 als Basis eines Zahlsystems fungieren. Je größer die Basis, desto kompakter die Notation der Multiplikationstabelle.
Dualsystem/binär/“dimidial“/binäre Zahlen/Binärsystem/Quine: aus “0 und “1”. d.h. Zahlen werden durch Halbe (partes dimidiae) zergliedert: Bsp
365 = 2
8 + 2
2 + 2
5 + 2
3 + 2
2 + 2
0.
Pointe: Gesetz: jede positive ganze Zahl ist eine Summe eindeutiger (distinct) Vielfacher von 2. Das geht nur bei 2 als Basis, keiner anderen Zahl!. D.h. Bsp bei 365 kommt die 10² nicht einmal, sondern dreimal vor.
Dezimalkomma/binär: in Binärnotation: die Stellen rechts sind dann negative Potenzen von 2. Bsp .0001 ist ein 16tel.
Reelle Zahlen/Binärnotation: nette Konsequenz: wenn wir die Reihe der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 (ohne die 0) betrachten, haben wir eine 1:1-Korrespondenz zwischen diesen reellen Zahlen und den unendlichen Klassen von positiven ganzen Zahlen.
Lösung: jede binär dargestellten reellen Zahl wird identifiziert mit einer binären Ausdehnung, die unendlich ist in dem Sinn, dass es keine letzte „1“ gibt.
XIII 43
Ganze Zahlen: die korrespondierende Klasse von ganzen Zahlen ist dann die der ganzen Zahlen, die die Stellen abzählen, an denen die „1“ vorkommt. Bsp Angenommen, die binäre Darstellung der fraglichen reellen Zahl beginnt mit „001011001“: die korrespondierende Klasse von ganzen Zahlen wird dann beginnen mit 3,5,6 und 9. Denn „1“ kommt an der dritten, 5, sechsten und neunten Stelle der binären Ausdehnung (expansion) vor.
Pointe: die so bestimmte Klasse ist also unendlich! Denn es gibt kein letztes Vorkommnis von „1“ in der Binärziffer (binary expansion).
Und umgekehrt:
Reelle Zahlen: jede unendliche Klasse von positiven ganzen Zahlen legt eine reelle Zahl fest, indem sie alle Stellen angibt, an denen „1“ statt „0“ vorkommt.
