I XII
Def Zirkelfehlerprinzip/Principia Mathematica
(1)/PM/Russell/Gödel: keine Totalität kann Glieder enthalten, die nur in Termini dieser Totalität definierbar sind, oder Glieder, die diese Totalität umfassen oder voraussetzen - "Prinzip Teufelskreis", PT.
I XII
Zirkelfehlerprinzip/GödelVsRussell: Die Principia
(1) selbst genügen in ihrer ersten Auflage dem Prinzip nicht, wenn "definierbar" heißt, "definierbar innerhalb des Systems", und keine Definitionsmethoden außerhalb bekannt sind, außer solchen, die noch umfangreichere Totalitäten umfassen als die, die im System vorkommen.
Gödel: Ich würde das eher als Beweis ansehen, dass das Zirkelfehlerprinzip falsch ist, als dass die klassische Mathematik falsch ist - denn man kann bestreiten, dass der Bezug auf eine Totalität notwendig einen Bezug auf alle ihre einzelnen Elemente impliziert, oder mit anderen Worten, dass "alle" dasselbe meint wie eine unendliche logische Konjunktion.
I XIV
"Alle" /Lösung/Carnap: "alle" meint Analytizität oder Notwendigkeit, oder Beweisbarkeit.
Zirkelfehlerprinzip/Gödel: scheint überhaupt nur für von uns selbst konstruierte Entitäten zu gelten - sonst ist Totalität nichts absurdes.
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Selbstbezüglichkeit, >
Ganzes.
I 55f
Zirkelfehlerprinzip/Russell: Propositionen: bilden nur Vielheiten, keine Gesamtheiten - (s) Gesamtheiten werden durch Begriffe gebildet, d.h. dass man keinen Satz über "alle ihre Elemente" aufstellen kann. (>
"Alles, was er sagte ist wahr"/(s): "sagen" bildet keine Kategorie, wie "neben", "ähnlich" "Sohn von", "nichts" auch nicht und eben auch keine Gesamtheit, nur eine Vielheit. Wohl aber "Vater von" (dies ist eindeutig) (Russell: Funktion, nicht nur Relation).
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Relation/Russell, >
Funktion/Russell.
I 57
Zirkel/Principia Mathematica/Russell: entsteht, wenn man als mögliche Argumente einer Propositionalfunktion Werte zulässt, die die Funktion voraussetzen.
I 61
Zirkelfehlerprinzip/Zirkel/Gesamtheit/Totalität/Principia Mathematica/Russell: es darf keine Propositionen über alle Propositionen geben - Bsp "Alle Propositionen sind falsch" - daher gibt es zwei Arten von Wahrheit/Falschheit: 1. Art: "φ a ist wahr "(spezieller Wert) - 2. Art "Jeder Wert von φ x^ hat Wahrheit 1. Art".
1. Whitehead, A.N. and Russel, B. (1910). Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press.
