Field I 20
Mathematik/Identifikation/Interpretation/Benacerraf: (1965)
(1) These: Es gibt eine Fülle von Willkür in der Identifizierung mathematischer Objekte mit anderen mathematischen Objekten:
Bsp Zahlen: können mit Mengen identifiziert werden, aber mit welchen?
>
Zahlen, >
Mengen, >
Willkür, >
Gleichsetzung, >
Identifikation.
Reelle Zahlen: Für reelle Zahlen gibt es aber keine einheitliche mengentheoretische Erklärung. Man kann sie mit Dedekindschen Schnitten, mit Cauchy Folgen,
I 21
mit geordneten Paaren, mit dem Tensor Produkt zweier Vektor Räume oder mit Tangenten Vektoren an einem Punkt einer Mannigfaltigkeit identifizieren.
>Reelle Zahlen
Tatsachen: Es scheint hier keine Tatsache zugeben, die darüber entscheidet, welche Identifikation man zu wählen hat!
Vgl. >
Nonfaktualismus.
Field: Das Problem geht aber noch tiefer: Es ist dann willkürlich, was man als grundlegende Objekte wählt, z.B. Mengen?
Field I 21
Basis/Mathematik/Benacerraf: Man kann Funktionen als grundlegend annehmen und Mengen als bestimmte Funktionen definieren, oder Relationen als Grundbausteine und Mengen als Relation der Additivität 1. (adicity).
I 23
Mathematik/Unbestimmtheit/Willkür/Crispin Wright: (1983)
(2): Benacerrafs Paper schafft kein besonderes Problem für die Mathematik:
Benacerraf: "Nichts in unserem Gebrauch von numerischen singulären Termini ist hinreichend um zu spezifizieren, welche - wenn überhaupt - Mengen sie sind.
>
Singuläre Termini, >
Referenz.
WrightVsBenacerraf: das gilt aber auch für die singulären Termini , die für die Mengen selbst stehen! Und nach Quine auch für die singulären Termini , die für Kaninchen stehen!
FieldVsWright: das geht an Benacerrafs Argument vorbei. Es richtet sich mehr gegen eine anti-platonistisches Argument: dass wir skeptisch gegenüber Zahlen sein sollten, denn, wenn wir annehmen, dass sie nicht existieren, dann scheint es unmöglich zu sein zu erklären, wie wir auf referieren oder Glaubenseinstellungen über sie haben.
Nach Benacerrafs Argument ist unsere Praxis hinreichend um sicherzustellen, dass die Entitäten, auf die wir das Wort "Zahl" anwenden, eine Sequenz unterschiedener Objekte bildet, unter der Relation die wir "<" nennen. (Kleiner Relation).Aber das ist auch alles. Vielleicht legt aber unser Gebrauch nicht einmal das fest.
>
Mathematische Entitäten.
Vielleicht bilden sie nur eine Sequenz, die unsere beste axiomatische Theorie erster Stufe von Sequenzen erfüllt. D.h. alles was durch den Gebrauch bestimmt wird, wäre dann ein Nicht Standardmodell einer solchen Theorie. Und das gälte dann auch für Mengen.
>
Zahlen, >
Mengen.
1. Benacerraf, P. What Numbers Could Not Be, The Philosophical Review 74, 1965, S. 47–73.
2. Benacerraf, P in: Paul Benacerraf/Hilary Putnam (eds.) Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge University Press: New York, 2. ed. 1983.
