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Metasprache/Addition/Algorithmus/Summe/Gauß/Genz: Die Summe der Zahlen von 1 bis 100 ist 5050 = 101 x 50:
Bsp 1 bis 10:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = (1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) = 11+11+11+11+11 = 5 x 11 = 55
Die Summe kann so umgeordnet werden, dass das Resultat der Addition aufgrund des Algorithmus von der Reihenfolge der Zahlen unabhängig ist.
Pointe: Das ist eine Aussage über die Resultate von Additionen, in der Metasprache.
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Objektsprache.
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Metasprache/Schwärzung/Zeichen/Formalismen/Hofstadter/Genz: Bsp Für eine rein typographische Ableitung: wenn 0+0=0, 1+0= 1 usw. sowie 1 = 1 vorgegeben ist, kann man 1 + x = 1 + x für beliebiges x hinzufügen.
Ableitung/Formalismus/Genz: Dass negative Zahlen hier ausgeschlossen werden müssen, hat für den Formalismus keine Bedeutung und kann für die Begründung von Ableitungen innerhalb seiner nicht herangezogen werden.
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Ableitung, >
Ableitbarkeit, >
Formalisierung.
Hofstadter/Genz: Hofstadter gebraucht die Nachfolgerrelation Bsp SS0 statt 2. Daher sind bei ihm keine Bedeutungen eingeschlichen.
Beweis/Hofstadter: Ein Beweis ist etwas Informales. Das Ergebnis eines Nachdenkens.
Formalisierung/Hofstadter: Die Formalisierung dient dazu, Intuitionen logisch zu verteidigen.
Ableitung/Hofstadter: Eine Ableitung ist eine künstlich hergestellte Entsprechung des Beweises...
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...die die logische Struktur explizit macht.
Einfachheit/Ableitung/Hofstadter: Es kann sein, dass Myriaden von Schritten notwendig sind, aber die logische Struktur stellt sich als ganz einfach heraus.
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Einfachheit.
Bedeutung/Genz: Die Bedeutung der unendlichen Folge der obigen Aussagen fasst der Satz zusammen, dass alle Zahlen, wenn um 0 vermehrt, unverändert bleiben. Pointe: Das beruht aber nicht auf der Bedeutung der Symbole, sondern nur auf den typographischen Ableitungsregeln der Objektsprache.
Metasprache/Genz: Es ist eine Einsicht über den Formalismus die garantiert, dass alle Tokens zutreffen.
Objektsprache: Die Objektsprache sei hier so, dass die obige Verallgemeinerung ("alle Zahlen, durch 0 vermehrt, bleiben unverändert") in ihr formuliert, aber nicht abgeleitet werden kann.
1. Metasprache: Hier kann er abgeleitet werden. Sie enthält vollständige Induktion.
2. Metasprache: Hier kann er nicht abgeleitet werden, jedoch seine Verneinung! (s.u.)
Beide Metasprachen enthalten die Objektsprache. Daher können in ihnen die Folgen abgeleitet werden.
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Objektsprache: In der Objektsprache können also nicht alle wahren Sätze abgeleitet werden.
Lösung: Wir nehmen den Satz selbst zur Sprache hinzu, dann ist er sowohl war, wie (trivial) ableitbar.
Pointe: In der 2. Metasprache, die mit der ersten unverträglich ist, kann statt des Satzes seine Negation hinzugenommen werden, ohne einen Widerspruch zu erzeugen.
2. Metasprache: Die 2. Metasprache erzwingt das Auftreten von "unnatürlichen" Zahlen, die nicht als Nachfolger von 0 dargestellt werden können.(1)
1. Douglas Hofstadter (2008).Gödel, Escher, Bach. Stuttgart: Klett-Cotta. S. 240.
