Berka I 384
Beweistheorie/Hilbert: Zunächst werden die Begriffe und Sätze der zu untersuchenden Theorie durch ein formales System dargestellt, und ohne Bezugnahme auf ihre Bedeutung nur formal behandelt.
I 385
Beweistheorie: Diese (daran anschließende) Untersuchung ist auf die logische Bedeutung ihrer Begriffe und Schlussweisen angewiesen. Der formalen Theorie wird also eine sinnvolle Metatheorie (Beweistheorie) gegenübergestellt
(1).
Berka I 395
Beweistheorie/Hilbert: Grundgedanke, These: Alles was bisherige Mathematik ausmacht, wird streng formalisiert, so wird die eigentliche Mathematik ein Bestand an Formeln. Neu dabei sind die logischen Zeichen "folgt" (›) und "nicht".
Schlussschema:
S
S › T
T
wo jedes Mal die Prämissen, d.h. (S und S › T) jede entweder ein Axiom ist, bzw. durch Einsetzung aus einem Axiom entsteht oder mit der Endformel übereinstimmt.
Def beweisbar/Hilbert: Eine Formel ist beweisbar, wenn sie entweder ein Axiom ist oder durch Einsetzen aus diesem entsteht, oder Endformel eines Beweises ist.
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Beweise, >
Beweisbarkeit.
Metamathematik/Beweistheorie/Hilbert: Die Beweistheorie kommt nun zur eigentlichen Mathematik hinzu: Im Gegensatz zu den rein formalen Schlussweisen der eigentlichen Mathematik kommt hier das inhaltliche Schließen zur Anwendung. Allerdings lediglich zum Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Axiome.
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Axiome, >
Axiomensysteme, >
Axiome/Hilbert.
In dieser Metamathematik wird mit den Beweisen der eigentlichen Mathematik operiert und diese bilden selbst den Gegenstand der inhaltlichen Untersuchung.
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Metamathematik.
So vollzieht sich die Entwicklung des mathematischen Gesamtwissens auf zweierlei Art:
a) durch Gewinnung neuer beweisbarer Formeln aus den Axiomen durch formales Schließen und
b) durch Hinzufügung neuer Axiome nebst Nachweis der Widerspruchsfreiheit durch inhaltliches Schließen.
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Widerspruchsfreiheit, >
Materiale Implikation.
Berka I 395
Wahrheit/absolute Wahrheit/Hilbert: Axiome und beweisbare Sätze sind Abbilder der Gedanken, die das Verfahren der bisherigen Mathematik ausmachen, aber sie sind nicht selbst die absoluten Wahrheiten.
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Wahrheit/Hilbert.
Def absolute Wahrheit/Hilbert: Absolute Wahrheiten sind die Einsichten, die durch meine >
Beweistheorie hinsichtlich der Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit der Formelsysteme geliefert werden.
Durch dieses Programm ist die Wahrheit der Axiome für unsere Beweistheorie schon vorgezeichnet.
(2)
1. K. Schütte: Beweistheorie, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1960, S. 2f.
2. D. Hilbert: Die logischen Grundlagen der Mathematik, in: Mathematische Annalen 88 (1923), S. 151-165.