Berka I 122
Def Zahl/Logische Form/Erweiterter Funktionenkalkül/Hilbert: Auch der allgemeine Zahlbegriff lässt sich logisch formulieren:
Soll ein Prädikatenprädikat φ(F) eine Zahl darstellen, so muss φ folgenden Bedingungen genügen:
1. Bei zwei gleichzahligen Prädikaten F und G muss φ für beide zutreffen oder für beide nicht zutreffen.
2. Sind zwei Prädikate F und G nicht gleichzahlig, darf φ höchstens für eins der beiden Prädikate F und G zutreffen.
Logische Form:
(F)(G){(φ(F) & φ(G) > Glz (F,G) & [φ(F) & Glz (F,G) > φ(G)]}.
Der ganze Ausdruck stellt eine Eigenschaft von φ dar. Bezeichnen wir diese mit Z(φ), können wir also sagen:
Eine Zahl ist ein Prädikatenprädikat φ, das die Eigenschaft Z(φ) besitzt.
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Eigenschaften.
Problem/Unendlichkeitsaxiom/Hilbert: Ein Problem tritt auf, wenn wir nach den Bedingungen fragen, unter der zwei Prädikatenprädikate φ und ψ mit den Eigenschaften Z(φ) und Z(ψ) dieselbe Zahl definieren.
Unendlichkeitsaxiom/Gleichzahligkeit/Hilbert: Die Bedingung für die Gleichzahligkeit bzw. dafür, dass zwei Prädikatenprädikate φ und ψ dieselbe Zahl definieren, besteht darin, dass φ(P) und ψ(P) für dieselben Prädikate P wahr und für dieselben Prädikate falsch sind, dass also die Beziehung besteht:
(P)(φ(P) ↔ ψ(P))
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Problem: Wenn der Gegenstandsbereich endlich ist, werden alle Zahlen gleichgesetzt, die größer sind als die Anzahl der Gegenstände im Individuenbereich.
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Endlichkeit/Hilbert, >
Endlichkeit, >
Finitismus.
Denn ist die Anzahl z.B. kleiner als 10
60 und nehmen wir für φ und ψ die Prädikate, die die Zahlen 10
60 und 10
60 + 1 definieren, so trifft sowohl φ als auch ψ auf kein Prädikat P zu.
Die Relation
(P)(φ(P) ↔ ψ(P))
ist also für φ und ψ erfüllt, d.h. φ und ψ würden dieselbe Zahl darstellen.
Lösung/Hilbert: Unendlichkeitsaxiom: Man muss den Individuenbereich als unendlich voraussetzen. Auf einen logischen Nachweis für die Existenz einer unendlichen Gesamtheit wird dabei freilich verzichtet.
(1)
1. D. Hilbert & W. Ackermann: Grundzüge der Theoretischen Logik, Berlin, 6. Aufl. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1972, §§ 1,2.