Berka I 121
Def Null/O/Zahl/Logische Form/Hilbert:
0(F) : ~(Ex)F(x)
"Es gibt kein x, für das F zutrifft".
Def 1/Eins/Zahl/Logische Form/Hilbert:
1(F) : (Ex)[F(x) & (y)(F(y) > ≡ (x,y)].
Hilbert: "Es gibt ein x, für das F(x) besteht, und jedes y, für das F(y) besteht, ist mit diesem x identisch".
Def Zwei/2/Zahl/Logische Form/Hilbert:
2(F) :(Ex)(Ey) {~≡(x,y) & F(x) & F(y) & (z)[F(z) > ≡ (x,z) v ≡ (y,z)]}.
I 122
"Es gibt zwei verschiedene x und y auf die F zutrifft, und jedes z, für das F(z) besteht, ist mit x oder y identisch".
Def Gleichzahligkeit/Logische Form/Hilbert: Die Gleichzahligkeit zweier Prädikate F und G kann man als individuelles Prädikatenprädikat Glz (F, G) auffassen. Sie bedeutet nichts anderes, als dass die Gegenstände, auf die F und die Gegenstände, auf die G zutrifft, umkehrbar eindeutig aufeinander beziehbar sind. Daher lässt sich die logische Form so darstellen:
(ER){(x)[F(x) > (Ey) (R(x,y) & G(y))] & (y)[G(y) >
> (Ex) (R(x,y) & F(x)] & (x)(y)(z) [(Rx,y) & R(x,z) >
> = (y,z) & (R(x,z) & R(y,z) > = (x,y)]}.
Def Zahl/Logische Form/erweiterter Funktionenkalkül/Hilbert: Auch der allgemeine Zahlbegriff lässt sich logisch formulieren: Soll ein Prädikatenprädikat φ(F) eine Zahl darstellen, so muss φ folgenden Bedingungen genügen:
1. Bei zwei gleichzahligen Prädikaten F und G muss φ für beide zutreffen oder für beide nicht zutreffen.
2. Sind zwei Prädikate F und G nicht gleichzahlig, darf φ höchstens für eins der beiden Prädikate F und G zutreffen.
Logische Form:
(F)(G){(φ(F) & φ(G) > Glz (F,G) & [φ(F) & Glz (F,G) > φ(G)]}.
Der ganze Ausdruck stellt eine Eigenschaft von φ dar. Bezeichnen wir diese mit Z(φ), können wir also sagen:
Eine Zahl ist ein Prädikatenprädikat φ, das die Eigenschaft Z(φ) besitzt.
Unendlichkeit/Hilbert: Ein Problem tritt auf, wenn wir nach den Bedingungen fragen, unter der zwei Prädikatenprädikate φ und ψ mit den Eigenschaften Z(φ) und Z(ψ) dieselbe Zahl definieren
(1).
>
Unendlichkeitsaxiom.
Berka I 295
Reelle Zahlen/Hilbert: Der Inbegriff der reellen Zahlen ist nicht etwa die Gesamtheit aller möglichen Dezimalbruchentwicklungen und auch nicht die Gesamtheit aller möglichen Gesetze, nach denen die Elemente einer Fundamentalreihe fortschreiten können, sondern ein System von Dingen, deren gegenseitige Beziehungen durch die Axiome geregelt werden und für die alle und nur diejenigen Tatsachen wahr sind, die durch eine endliche Anzahl logischer Schlüsse aus den Axiomen gefolgert werden können.
Existenz/reelle Zahlen/Hilbert: Der Begriff des Kontinuums oder der Begriff des Systems aller Funktionen existiert dann in demselben Sinn, wie etwa das System der ganzen rationalen Zahlen oder auch die höheren Cantorschen Zahlklassen und Mächtigkeiten existieren
(2).
>
Reelle Zahlen, >
Existenz/Hilbert.
1. D. Hilbert & W. Ackermann: Grundzüge der Theoretischen Logik, Berlin, 6. Aufl. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1972, §§ 1,2.
2. D. Hilbert, „Mathematische Probleme“ in: Ders. Gesammelte Abhandlungen (1935), Bd. III, S. 290-329 (gekürzter Nachdruck v. S 299-301).
