I 137
Kanonische Modelle/Bigelow/Pargetter: Kanonische Modelle gehen mit maximalkonsistenten Mengen von Sätzen um, um Vollständigkeitsbeweise zu liefern.
>
Modelle, >
Vollständigkeit, >
Beweise, >
Beweisbarkeit.
Kanonische Modelle wurden erst nach Hughes/Cresswell 1968 entdeckt, sie wurden im späteren Werk (Hughes/Cresswell 1984)
(2) beschrieben.
Def Vollständigkeitstheorem/Bigelow/Pargetter: Das Vollständigkeitstheorem ist ein Theorem, das beweist, dass, wenn ein Satz in einer bestimmten Semantik garantiert wahr ist, dieser Satz als Theorem bewiesen werden kann. Wie können wir das beweisen? Wie können wir beweisen, dass jeder solche Satz ein Theorem ist?
Lösung: Wir beweisen die Kontraposition des Satzes: Statt:
Wenn a garantiert wahr ist in der Semantik, ist a ein Theorem
beweisen wir
Wenn a kein Theorem ist, ist er nicht garantiert wahr in der Semantik.
>
Semantik.
Das beweisen wir, indem wir eine Interpretation finden, nach der er falsch ist.
>
Interpretation, >
Bewertung.
Def Kanonisches Modell/Bigelow/Pargetter: Ein kanonisches Modell liefert eine Interpretation die garantierterweise jedes Nichttheorem falsch in wenigstens einer möglichen Welt macht.
>
Mögliche Welten.
I 138
Wir beginnen damit, dass es einen Satz a geben wird, für den entweder a oder ~a ein Theorem ist. Dieser kann hinzugefügt werden zu den Axiomen, um eine weitere konsistente Menge von Sätzen zu geben.
Maximal konsistente Menge von Sätzen/Bigelow/Pargetter: Es kann bewiesen werden, dass für die Axiomensysteme mit denen wir es zu tun haben, es immer eine maximal konsistente Menge von Sätze gibt.
D.h. eine konsistente Menge von Sätzen, zu denen kein weiterer Satz hinzugefügt werden kann, ohne die Menge inkonsistent zu machen.
>
Maximal konsistent.
D.h. für jeden Satz g ist entweder γ in der Menge oder ~γ.
W: sei dann die Menge aller maximal konsistenten Erweiterungen des Axiomensystems, mit dem wir begonnen haben.
>
Erweiterung.
1. Hughes, G. E. and Cresswell, M.C. (1968) An introduction to modal logic. London: Methuen.
2. Hughes, G. E. and Cresswell, M.C. (1984) A companion to modal logic. London: Methuen.