Lexikon der Argumente

 

I 47
Mengen/Quine/Goodman/Bigelow/Pargetter: Es könnte sein, dass wir, wenn wir Mengen zulassen, gar keine sonstigen Universalien mehr brauchen. Weil man mit Mengen fast alles machen kann, was die Mathematik braucht.
Armstrong: glaubt dagegen an Universalien, aber nicht an Mengen!
>D. Armstrong, >Universalien.
BigelowVsQuine/BigelowVsGoodman: Für die Wissenschaft brauchen wir noch weitere Universalien als Mengen, Bsp Wahrscheinlichkeit und Notwendigkeit.
>Wahrscheinlichkeit, >Notwendigkeit.
I 95
Universalien/Mengen/Prädikate/Bigelow/Pargetter: Wenn ein Prädikat keinem Universale entspricht, Bsp bei Hunden, nehmen wir an, dass sie wenigstens einer Menge entsprechen.
Prädikat/Bigelow/Pargetter: Wir können aber auch dann noch nicht einmal annehmen, dass jedes Prädikat einer Menge entspricht!
Menge/Bigelow/Pargetter: Bsp es gibt keine Menge X die alle und nur die Paare enthält für die x ein Element von y ist. (Paradoxie).
Allmenge/Allklasse/Bigelow/Pargetter: kann es auch nicht geben.
Prädikat: „ist eine Menge“ entspricht nicht einer Menge die alle und nur die Dinge enthält, auf die es zutrifft! (Paradoxie, wegen der unmöglichen Menge aller Mengen).
Mengenlehre/Bigelow/Pargetter: wir sind dennoch froh, wenn wir den meisten Prädikaten etwas zuordnen können, und deshalb ist die Mengenlehre (die aus der Mathematik stammt und nicht aus der Semantik) ein Glücksfall für die Semantik.
Referenz/Semantik/Bigelow/Pargetter: die Mengenlehre hilft, der Referenz mehr erklärende Kraft aufzubürden, um eine Wahrheitstheorie (WT) zu formulieren. Dabei bleibt noch offen, welche Rolle Referenz genau spielen soll.
I 371
Existenz/Mengen/Mengenlehre/Axiom/Bigelow/Pargetter: keins der folgenden Axiome sichert die Existenz von Mengen: Paarmengenaxiom, Extensionalitätsaxiom, Vereinigungsmengenaxiom, Potenzmengenaxiom, Separationsaxiom: sie alle sagen uns nur, was passiert, wenn es schon Mengen gibt.
Axiome/ZF/Bigelow/Pargetter: Die Axiome von Zermelo/Fraenkel sind rekursiv: d.h. sie schaffen neues aus altem.
Basis: bilden zwei Axiome:
I 372
Unendlichkeitsaxiom/Zermelo-Fraenkel/ZF/Bigelow/Pargetter: (wird normalerweise so formalisiert, dass es das Leermengenaxiom enthält). Behauptet die Existenz einer Menge die alle natürlichen Zahlen nach von Neumann enthält.
Omega/Bigelow/Pargetter: nach unserem mathematischen Realismus sind die Mengen in der Folge ω nicht identisch mit natürlichen Zahlen. Sie instanziieren sie. Deshalb ist das Unendlichkeitsaxiom so wichtig.
Unendlichkeitsaxiom/Ontologie/Bigelow/Pargetter: das Unendlichkeitsaxiom hat wirkliche ontologische Bedeutung. Es sichert die Existenz von genügend Mengen, um die reichen Strukturen der Mathematik zu instanziieren. Und die der Physik.
Frage: Ist das Axiom wahr? Bsp Angenommen, eine Eigenschaft „diese Dinge zu sein“. Und angenommen, es gibt ein Extra-Ding, das nicht inbegriffen ist. Dann ist es sehr plausibel dass es die Eigenschaften geben wird, „jene Dinge zu sein“ die auf alle bisherigen Dinge plus Extra-Ding anwendbar ist. Dazu muss es zuerst diese Eigenschaften geben. Außerdem, wenn wir Realisten über solche Eigenschaften sind, kann eine solche Eigenschaft selbst als „ein Extra-Ding“ zählen!
I 373
Das stellt sicher, dass wenn es ein Anfangssegment von  gibt, das nächste Element der Folge auch existiert.
Unendlichkeit: erfordert aber mehr als das. Wir müssen noch sicherstellen, dass die Gesamtheit ω existiert! D.h. es muss die Eigenschaft geben „eins dieser Dinge zu sein“ wobei dies eine Eigenschaft ist, die von allen und nur von Neumann-Zahlen instanziiert ist. das ist in unserer Konstruktion plausibel, weil wir Mengen als plurale Essenzen (s.o.) auffassen.
Problem: wir müssen nur noch ein Anfangssegment für die Neumann-Zahlen garantieren. Das sollte die leere Menge sein.
Leere Menge/Bigelow/Pargetter: wie plausibel ist ihre Existenz in unserer Metaphysik?
>Leere Menge, >Metaphysik.