A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967
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Axiomatik/d’Abro: Die neue Wissenschaft der Axiomatik wurde hauptsächlich von den Formalisten Hilbert und Peano entwickelt.
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Formalismus.
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Hilbert/d‘Abro: Beispiele für typische Behauptungen Hilberts:
1. Zwei verschiedene Punkte, A und B , bilden immer eine Gerade.
2. Drei verschiedene Punkte, A,B, und C, die nicht auf einer Geraden liegen, bilden immer eine Ebene.
3. Von drei auf einer Geraden liegenden Punkten liegt einer und immer nur einer zwischen den beiden anderen.
4. Ist das Segment AB gleich den Segmenten A'B' und A''B'', so ist A'B' gleich A''B''.
Die Pointe der Hilbertschen Postulate: Punkte, Geraden und Ebenen sind nicht die einzigen Größen, die diesen Relationen genügen: mit einiger Phantasie lassen sich noch andere finden.
Bsp Es bezieht sich ursprünglich auf ebene Geometrie und kann mit anderer Bedeutung versehen werden: Kreise als neue Geraden, mit Winkeln als Abständen.
Alle Relationen werden erfüllt, daher kann das neue Modell und das alte (euklidische) als verschiedene Modelle oder sogenannte "konkrete Darstellungen" angesehen werden, die beide den Postulaten entsprechen.
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Modelle.
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Es mag absurd erscheinen, aber Hilbert warnt davor, den Punkten und Geraden, die er in seinen Postulaten erwähnt, a priori bestimmte Eigenschaften zuzuschreiben.
Wir können die Wörter Punkt, Gerade, Ebene in allen Postulaten durch Buchstaben a,b,c, ersetzen. Wenn wir dann Punkte, Geraden und Ebenen einsetzen, erhalten wir die euklidische Geometrie, wenn wir andere einsetzen, deren Relationen allerdings die gleichen sein müssen wir zwischen Punkt Geraden und Ebenen, erhalten wir ein neues Modell. Sie sind isomorph.
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Isomorphien.
Bsp Die neuen Elemente werden durch eine Dreiergruppe von Zahlen und durch algebraische Begriffe ausgedrückt, welche diese Zahlen miteinander in Beziehung setzen.
Hilbert kam darauf, als er kartesianische Koordinaten anstellen von Punkten, Geraden, Ebenen wählte.
Die Tatsache, dass die neuen Elemente, hier numerische, den Hilbertschen Postulaten genügten, beweist nur, dass die einfachen geometrischen Schlussweisen und die cartesianische Methode der analytischen Geometrie äquivalent sind.
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Es wird damit die logische Äquivalenz des geometrischen und arithmetischen Kontinuums bewiesen.
Lange vor Hilbert hatten Mathematiker erkannt, dass die Mathematik es mit Beziehungen zu tun hat, und nicht mit Inhalten.
Mit Hilberts Postulaten können wir die Euklidische Geometrie schaffen, auch ohne zu wissen, was mit Punkt, Gerade und Ebene gemeint ist.
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Die Errungenschaften der Axiomatik:
1. sind von unschätzbarem Wert, sowohl vom analytischen wie vom konstruktiven Standpunkt aus.
2. Die Axiomatik hat gezeigt, dass es in der Mathematik um Beziehungen und nicht um Inhalte geht.
3. Die Axiomatik hat gezeigt, dass die Logik von sich aus nicht die Widerspruchsfreiheit bestätigen kann.
4. Die Axiomatik hat auch gezeigt, dass wir über sie hinausgehen und ihren Ursprung zeigen müssen.
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Widerspruchsfreiheit, >
Letztbegründung, >
Fundierung, >
Axiomensysteme.
