Lexikon der Argumente

 

A. d'Abro Die Kontroversen über das Wesen der Mathematik 1939 in Kursbuch 8 Mathematik 1967
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Postulate sind nicht die einzigen Elemente, die geprüft werden müssen, wir müssen auch die , denen sie unterworfen sind, in Betracht ziehen.
>Gesetze, >Überprüfung, >Verifikation, >Bestätigung.
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Existenz/Widerspruchsfreiheit/d’Abro: Bsp das berühmte Dirichlet Problem ist ein Existenz Theorem. Es geht darum, ob für die Laplace Gleichung immer eine Lösung existiert, die bestimmten Randbedingungen genügt, oder nicht.
Ein inkonsistentes Modell hat ebenso wenig Anspruch auf mathematische Existenz wie ein rundes Viereck.
>Widerspruchsfreiheit, >Widersprüche, >Rundes Quadrat.

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Die Kompatibilität eines Postulatensystems lässt sich nur prüfen, wenn es nur eine endliche Zahl von Konsequenzen hat. Die Hilbertschen lassen aber unendlich viele Folgerungen zu.
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Hilbert umgeht diese Schwierigkeit, indem er sagt, das System sei widerspruchsfrei bewiesen, wenn es gelinge, die Existenz eines Modells darzutun, welches das System bestätigt. Also Existenz gleich Fehlen einer inneren Inkonsistenz.
>Modelle, >Modelltheorie.
Hilbert behauptet dann, dass das auf Zahlen beruhende Modell dieser Forderung genüge. Er akzeptiert damit die Widerspruchsfreiheit des arithmetischen Kontinuums. Das Problem ist nur, dass wir uns dessen keineswegs sicher sind.
>D. Hilbert.
Brouwer und Weyl stellen sie ernsthaft in Frage, mit dem Resultat, dass wir das 5. Hilbertsche Postulat und alle Modelle, die es bestätigen sollen, nur glauben können. Logik allein hilft nicht.
>L. Brouwer, >Formalismus, >Intuitionismus.

Stimmt es, dass wir die euklidische Geometrie nur dann erhalten werden, wenn wir die logischen Regeln auf die Hilbertschen Postulate anwenden? Poincaré verneint diese Frage.
>H. Poincaré.