I 59ff
Intuitionismus/Heyting: Brouwer untersuchte die gedankliche mathematische Konstruktion als solche, ohne nach der Natur der Dinge zu fragen, etwa, ob diese Dinge unabhängig von unserer Kenntnis über sie existieren.
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L. Brouwer.
I 60
Satz vom ausgeschlossenen Dritten: Bsp Nichtgültigkeit des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten: Wir vergleichen die Definitionen zweier natürlicher Zahlen, k und l.
(a) k ist die größte Primzahl von der Art, dass k 1 auch eine Primzahl ist, wenn es keine solche Zahl gibt, ist k = 1.
(b) l ist die größte Primzahl von der Art, dass l 2 auch eine Primzahl ist, wenn es keine solche Zahl gibt, ist l = 1.
Intuitionisten lehnen b) als Definition einer ganzen Zahl ab. K kann wirklich errechnet werden (k=3) während wir keine Methode haben, l zu ermitteln, da es nicht bekannt ist, ob die Folge der Primzahlzwillinge unendlich ist oder nicht. Die Intuitionisten betrachten etwas nur als wohldefiniert, wenn eine Methode zur Ermittlung gegeben ist.
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Satz vom Ausgeschlossenen Dritten, >
Zahlen.
Klassische Mathematik: Man kann doch einwenden, dass der Umfang unseres Wissens über die Existenz des letzten Zwillings rein zufällig ist. Und gänzlich belanglos in Fragen der mathematischen Wahrheit.
Existenz/Intuitionismus/Heyting: Das Argument des Vertreters der klassischen Mathematik ist metaphysischer Art. Wenn existieren nicht "konstruierbar" heißt, muss es metaphysische Bedeutung haben.
Vgl. >
Konstruktivismus.
I 61
Klassische Mathematik/VsIntuitionismus/Heyting: Angenommen, am 1. Jan. 1970 wird bewiesen, dass es unendlich viele Zwillinge gibt, l also gleich 1 ist. War es vor dem Datum nicht so? (Menger 1930)
(3)
Intuitionismus/Heyting: Eine mathematische Behauptung stellt fest, dass eine gewisse Konstruktion möglich ist. Bevor es die Konstruktion gibt, gibt es sie nicht. Sogar die Intuitionisten sind überzeugt, dass Mathematik in irgendeinem Sinn auf ewigen Wahrheiten beruht, aber wenn man versucht, diesen Sinn zu definieren, verfängt man sich in Metaphysik.
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Metaphysik.
I 62
Formalismus/Carnap/Heyting: Es bleibt immer der Zweifel, welche Schlussweisen korrekt sind, und welche nicht. (Carnap, 1934
(1), S. 44; 1937
(2), S. 51)
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Korrektheit.
I 63
Intuitionismus: Wir sind gerade nicht an der formalen Seite interessiert, sondern an der Art von Schlüssen in der Metamathematik. Es gibt eine grundsätzliche Mehrdeutigkeit der Sprache.
Klassische Mathematik: Die Semantiker sind noch schlimmere Relativisten als die Formalisten und Intuitionisten.
Vgl. >
Semantische Wahrheit, >
Wahrheitsbedingungen.
I 65
Intuitionismus: Es gibt eine Intuitionistische Logik, Bsp Transitivität.
Schlussfolgerung: Logik ist ein Teil der Mathematik und kann daher nicht als ihre Grundlage genommen werden.
>
Logik, >
Mathematik, >
Transitivität.
1. R. Carnap, Logische Syntax der Sprache, Wien 1934, S. 44.
2. R. Carnap, Testability and Meaning, in: Philosophy of Science 4, 1937, S. 51.
3. Karl Menger. Der Intuitionismus. Blätter Für Deutsche Philosophie 4:311--325 (1930)
