Philosophie Lexikon der Argumente

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Unendlichkeit, Unendliches, Philosophie: Resultat einer nicht abbrechenden Prozedur, z.B. des Zählens oder Teilens, oder z.B. die fortgesetzte Beschreibung einer Kreisbewegung. In lebensweltlichen Zusammenhängen sind unendlich fortgesetzte Prozesse wie z.B. unendliche Wiederholung oder niemals beendetes Abwarten zumindest logisch nicht widersprüchlich. Eine Bildungsvorschrift muss nicht existieren damit sich eine unendliche Fortsetzung ergibt wie z.B. bei der Entwicklung der Nachkommastellen von reellen Zahlen. Siehe auch Grenzen, Unendlichkeitsaxiom, Wiederholung, Finitismus, Zahlen, Komplex/Komplexität.

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Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.

 
Autor/Titel Begriff Zusammenfassung Metadaten
V 165
Unendlich/materiell/Quine: wenn man unendlich viele Zeichen braucht (Bsp für natürliche Zahlen) kann man nicht sagen, ein Zeichen sei ein physikalischer Gegenstand, denn dann hören sie bald auf. - Auch nicht Formen als Klassen von Inskriptionen - Diese sind wieder physikalische Verwirklichungen von Formen.
IX 64
Unendlich/Quine: wird erst bei Induktion notwendig - x = {y}, y = {z}, z = {w}....ad infinitum - das ist der Fall, wenn {,,,x} < i' ϑ und dennoch ~(x < x) - Komprehension: {,,,x} ∩ a ε ϑ ist zufriedenstellend.
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XIII 96
Unendliche Zahlen/Quine: Bsp Angenommen, wir ordnen Gegenstände willkürlich irgendwelchen Klassen zu, die einzige Einschränkung ist, dass kein Objekt zu mehr als einer Klasse gehören darf.
Problem: dann wir es nicht genug Gegenstände für alle Klassen geben! Eine Klasse, für die es kein Korrelat gibt wird Bsp die Klasse aller Objekte, die nicht zu ihren korrelierten Klassen gehören. Denn ihr Korrelat müsste zu ihr gehören, gdw. es nicht zu ihr gehört.
Cantor: bewies 1890, dass die Klassen von Gegenstände jeder Art die Zahl der Gegenstände übersteigen.
XIII 97
Der Grund dafür hat mit den Paradoxien zu tun, wenn die Relation, von der dort die Rede ist, richtig spezifiziert ist.
Es zeigt sich, dass es unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten gibt.
Bsp es gibt mehr Klassen ganzer Zahlen als es ganze Zahlen gibt.
Da es aber unendlich viele ganze Zahlen gibt, muss die Unendlichkeit der unendlich viele Klassen ganzer Zahlen von einer höheren Art sein.
Bsp es gibt auch mehr Klassen von Klassen von ganzen Zahlen als es Klassen von ganzen Zahlen gibt. Das ist eine noch höhere Unendlichkeit. Das kann unendlich fortgesetzt werden.
Das Argument hing hier von der Klasse der Nichtelemente mit sich selbst korrelierter Klassen (nonmembers of own correlated classes) ab.
Russellsche Antinomie/Quine: hing ab von der Klasse von Nichtelementen ihrer selbst (nonelements of selves).
Cantorsche Paradoxie/Quine: wenn man die Korrelation als Selbstkorrelation nimmt, läuft Cantors Paradox auf Russells Paradox hinaus. So kam Russell auch darauf.
Cantor/Theorem/Quine: sein Theorem ist selbst aber keine Paradoxie.
Russells Antinomie/Lösung/Quine: wird so verhindert, wie man einen Spezialfall von Cantors Theorem ausschließt, der zu ihr führt. (siehe Paradoxien.)
Cantor Theorem/Korollar/unspezifizierbare Klassen/Quine: die Existenz unspezifizierbarer Klassen folgt als Korollar aus Cantors Theorem. D.h. Klassen, für die wir die Enthaltenseinsbedingung nicht angeben können. Auch keinen anderen identifizierenden Zug.
Bsp Die unendliche Gesamtheit grammatisch konstruierbarer Ausdrücke in einer Sprache. Nach Cantors Theorem übersteigt schon die Klasse solcher Ausdrücke die Ausdrücke selbst.
Klassen/größer/kleiner/Kriterium/Quine: unser Kriterium für größere und kleinere Klassen war hier Korrelation.
Def größer/Klassen/Mengen/Quine: eine Klasse ist größer als eine andere, wenn nicht jedes ihrer Elemente mit einem Element der anderen Klasse gepaart werden kann.
XIII 98
Problem: nach diesem Kriterium kann keine Klasse größer sein, als eine ihrer echten Teilklassen (Teilmengen). Bsp danach ist die Klasse der positiven ganzen Zahlen nicht größer als die der geraden Zahlen. Denn wir können immer Paare zwischen ihren Elementen bilden. Das zeigt einfach, dass unendliche Mengen sich ungewöhnlich verhalten.
Unendlich/größer/kleiner/Klassen/mengen/Quine: sollen wir unser Kriterium deswegen ändern? Wir haben die Wahl:
a) Wir können sagen, dass eine unendliche Klasse nicht größer sein muss als ihre echten Teilklassen, oder
b) das Kriterium ändern und sagen, dass eine Klasse immer größer als ihre echten Teile ist, nur dass sie manchmal ausgeschöpft werden können durch Korrelation mit Elementen einer kleineren Klasse.
pro a): ist einfacher und Standard. Das war auch Dedekinds Definition von unendlich.
unendlich/falsch: ein Student schrieb einmal, eine unendliche Klasse wäre „eine, die echter Teil von sich selbst“ sei. Das stimmt nicht, sondern sie ist eine Klasse, die nicht größer ist, als ein (some) echter Teil von ihr selbst. Bsp die positiven ganzen Zahlen sind nicht zahlreicher als die geraden Zahlen. Bsp auch nicht zahlreicher als die Vielfachen von 3 (nach derselben Überlegung). Und sie sind Bsp auch nicht weniger zahlreich als die rationalen Zahlen!
Lösung: jeder Bruch (ratio) kann ausgedrückt werden durch x/y, wobei x und y positive ganze Zahlen sind, und dieses Paar kann eindeutig repräsentiert werden durch eine positive ganze Zahl 2x mal 3y.
Umgekehrt: erhalten wir den Bruch, indem wir sehen wie oft diese ganze Zahl durch 2 bzw. durch 3 Teilbar ist.
Unendlich/Quine: bevor wir von Cantor lernten, dass es verschiedene Unendlichkeiten gibt, wären wir nicht überrascht gewesen, dass es nicht mehr Brüche als ganze Zahlen gibt.
XIII 99
Nun sind wir aber doch überrascht!
Unspezifizierbar: da es mehr reelle Zahlen gibt, als es Ausdrücke (Namen) gibt, gibt es also unspezifizierbare reelle Zahlen.
Namen/Ausdrücke/Quine: es gibt nicht mehr Namen (Ausdrücke) als es positive ganze Zahlen gibt.
Lösung: einfach die Namen (Ausdrücke alphabetisch innerhalb jeder Länge anordnen. Dann kann man sie mit positiven ganzen Zahlen nummerieren.
Reelle Zahlen/Cantor/Quine: Cantor zeigte, dass es ebenso viele reelle Zahlen gibt wie Klassen von positiven ganzen Zahlen. Das haben wir oben gesehen (s.o. decimals and dimidials) dass die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 in Korrelation mit der unendlichen Klasse der positiven ganzen Zahlen sind.


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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders.
Der Hinweis [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987

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> Gegenargumente gegen Quine

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