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Zahlen: Ob Zahlen Gegenstände oder Begriffe sind, ist in der philosophischen Diskussion über Jahrtausende umstritten gewesen. Die heute am weitesten akzeptierte Definition stammt von G. Frege (G. Frege, Grundlagen der Arithmetik 1987, S. 79ff). Von Frege inspirierte Redeweisen stellen Zahlen als Klassen von Klassen dar oder als Begriffe zweiter Stufe bzw. als das, womit man die Mächtigkeit von Mengen misst. Bis heute ist in der Diskussion von Zahlen eine Zweideutigkeit zwischen Begriff und Gegenstand auffindbar. Siehe auch Zählen, Mengen, Messen, Mathematik, Abstrakte Gegenstände, Mathematische Entitäten, Theoretische Entitäten, Anzahl, Platonismus.

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Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente.

 
Autor Begriff Zusammenfassung/Zitate Quellen

Hartry Field über Zahlen – Lexikon der Argumente

I 153
Zahlen/Frege/Crispin Wright: Frege schlägt vor, dass die Tatsache, dass unsere arithmetische Sprache diese Eigenschaften hat, hinreichend ist, um natürliche Zahlen als einen Sortal-Begriff aufzustellen, dessen Instanzen, wenn er welche hat, dann die Gegenstände sind.
Crispin WrightVsFrege: Es muss aber die Gegenstände gar nicht geben.
Problem: Frege fordert damit, dass empirische Bedenken irrelevant sind. Dann gibt es aber auch gar keine Möglichkeit eines Fehlers.
>Zahlen/Frege
, >Existenz/Frege.
II 214
Zahlen/BenacerrafVsReduktion/Benacerraf/Field: Es kann mehrere Korrelationen geben, sodass man nicht von "dem" Referenten von Zahlwörtern sprechen kann.
>Paul Benacerraf.
Lösung/Field: Wir müssen "denotiert partiell" auch auf Folgen von Termen ausdehnen. Dann werden "gerade", "prim" usw. basis-abhängige Prädikate deren Basis die Sequenz der Zahlen ist.
>Denotation, >Partielle Denotation, >Verallgemeinerung/Field.
Dann kann man mathematische Wahrheit erhalten (>Wahrheitserhalt, Wahrheitstransfer) - Bsp "Die Zahl zwei ist Cäsar" ist weder wahr noch falsch (ohne Wahrheitswert).
>Sinnloses.
II 326
Def natürliche Zahlen/Zermelo/Benacerraf/Field: 0 ist die leere Menge und jede natürliche Zahl > 0 ist die Menge, die als einziges Element die Menge die n-1 ist, enthält.
Def natürliche Zahlen/von Neumann/Benacerraf/Field: Jede natürliche Zahl n ist die Menge, die als Elemente die Mengen hat, die die Vorgänger von n sind. Tatsache/Nonfaktualismus/Field: Es ist klar, dass es keine Tatsache darüber gibt, ob Zermelos oder von Neumanns Ansatz die Dinge "richtig darstellt"; es gibt keine Tatsache die entscheidet, ob Zahlen Mengen sind. Das nenne ich die Def Strukturalistische Einsicht: Es macht keinen Unterschied, was die Objekte einer mathematischen Theorie sind, wenn sie nur in den richtigen Relationen zueinander stehen.

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Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der Argumente
Der Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente.

Field I
H. Field
Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989

Field II
H. Field
Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001

Field III
H. Field
Science without numbers Princeton New Jersey 1980

Field IV
Hartry Field
"Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67
In
Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994

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