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| Zahlen: Ob Zahlen Gegenstände oder Begriffe sind, ist in der philosophischen Diskussion über Jahrtausende umstritten gewesen. Die heute am weitesten akzeptierte Definition stammt von G. Frege (G. Frege, Grundlagen der Arithmetik 1987, S. 79ff). Von Frege inspirierte Redeweisen stellen Zahlen als Klassen von Klassen dar oder als Begriffe zweiter Stufe bzw. als das, womit man die Mächtigkeit von Mengen misst. Bis heute ist in der Diskussion von Zahlen eine Zweideutigkeit zwischen Begriff und Gegenstand auffindbar. Siehe auch Zählen, Mengen, Messen, Mathematik, Abstrakte Gegenstände, Mathematische Entitäten, Theoretische Entitäten, Anzahl, Platonismus._____________Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente. | |||
| Autor | Begriff | Zusammenfassung/Zitate | Quellen |
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W.V.O. Quine über Zahlen – Lexikon der Argumente
I 219 Nicht alle abstrakten Gegenstände sind Eigenschaften: Zahlen, Klassen, Funktionen, geometrische Figuren, Ideen, Möglichkeiten. - Wir müssen abstrakte Gegenstände aufgeben oder zurückführen und getreulich durch Gebrauch von "-heit" von konkreten Gegenständen unterscheiden! - - - II 26 Zahlen: Quantifikation ist Vergegenständlichung, Ziffern Namen - Diagonalen: irrational, Umfang: transzendent. Messen: Messskala: mehrstelliger allgemeiner Term, setzt physikalische Gegenstände in Beziehung zu reinen Zahlen. Zählen: Messen einer Klasse >Messen. II 28 Zahlen/Ontologie: Zahlen sind bloß eine "facon de parler". - Höhere Klassen sind nötig, um Zahlen zu ersetzen - sonst nur physikalische Gegenstände. >Ontologie/Quine. - - - IX 54 Zahlen/Frege/Quine: wie Vorgänger (Ahne): Def Vorgänger/Frege: die gemeinsamen Elemente aller Klassen z, die die Anfangsbedingung: "y ε z" und eine Abgeschlossenheitsbedingung: die auf "a " "z < z" hinauslief, erfüllten - wobei a die Elternrelation ist. Quine: Bis jetzt sagen wir noch nicht, dass Zahlen Klassen sind - unendliche Klassen vermeiden wir, wenn wir statt der Nachfolger- die Vorgängerrelation nehmen: {x: ∀z[(x ε z u ^S " "z < z) > 0 ε z]}. Problem: Die Nachfolgerrelation könnte auch zu Dingen führen, die keine >Zahlen sind - Zahlen/Quine: werden wir vor allem als Maß für Vielfachheiten benutzen (so hatte Frege sie definiert) - a hat x Elemente" - das Schema geht auf Frege zurück: a hat 0 Elemente <> a = Λ. - a hat S°x Elemente ↔ Ey(y ε a ∩ _{y} hat x Elemente. IX 59 Zahlen/Zermelo: (1908)(1) nimmt Λ als 0 und dann {x} als S°x für jedes x. (d.h. "{x}" immer eins mehr als x! - {x} Nachfolger von x! - Als Zahlen erhalten wir dann Λ, {Λ},{{Λ}}..usw. IX 59f Zahlen/von Neumann: (1923)(2) fasst jede natürliche Zahl als die Klasse der früheren Zahlen auf: 0 wird wieder Λ, - aber Nachfolger: S°x wird nicht {x}, sondern x U {x}. (vereinigt mit) - 1: wie bei Zermelo: gleich {Λ}, - aber 2: {0,1} oder {Λ,{Λ}}. - 3: {0,1,2} oder {Λ,{Λ},{Λ,{Λ,{Λ}}}, - für von Neumann besagt, dass a x Elemente hat, dass a ~ x. (Anzahl, gleichmächtig) - das ist gerade das "a ~ {y: y < x}" von Kap 11. denn für von Neumann ist x = {y: y < x}. IX 60 Zahlen/Frege: ausschließlich Zahlen als Maßzahlen von Vielfachheiten. - Jede Zahl ist die Klasse aller Klassen, die diese Zahl von Elementen haben - Null/Frege: ist für ihn daher lieber {Λ} als Λ - Nachfolger: {z: Ey(y ε z ∧ z D _{y} ε x )}. (_{y} Komplement) - gleichmächtig: wie bei den anderen: "a hat x Elemente" wird durch "a ~ {y : y Zahlen/Quine: ich verwende Zermelos Version für 0 und S. nämlich Λ und i. - Schreibweise: "i" jetzt statt "S" für Nachfolger - "b <= a" oder "a >= b" steht für "z[(a e z u ^i " "z < z) > b ε z]" - "b <=a" oder "a > b" steht für "{b} <= a" - "N" steht für "{x: Λ <= x}" - "<=" : diese Relation ist reflexiv und transitiv! - x <= x. ("kann nicht größer sein") - x <= {x}. - x < {x}. IX 203 Natürliche Zahlen/kumulative Typen/Quine: die Zermeloschen und von Neumannschen Zahlen fahren hier ein wenig besser als in Russells Typentheorie. Neumann: bei ihm war x U {x} Nachfolger von x und damit kommt er offenbar mit der Typentheorie in Konflikt. Zermelo: Dito, wenn man zwei Zahlen, z.B. x und seinen Nachfolger, in eine Klasse stecken möchte - neu: mit der Tolerierung der endlichen Heterogenität in Klassen wird der Konflikt vermieden. 1. Zermelo, E. (1908). Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I. Mathematische Annalen, 65, 261-281. http://dx.doi.org/10.1007/BF01449999 2. Neumann, John von. (1923) Zur Einführung der transfiniten Zahlen; in: Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged); Band: 1; Nummer: 4; Seite(n): 199-208; - - - XII 61 Zahlen/Russell: man braucht nicht zu entscheiden, was sie über die Arithmetik hinaus sind. - QuineVsRussell: jede Progression ist ein Modell der natürlichen Zahlen. - Aber sie sind nicht alle verträglich -" Bsp die Progression der geraden und der ungeraden Z. können nicht gleichgesetzt werden. - Daher sind nicht alle Dinge, die die Arithmetik erfüllen, Zahlen. - Man kann nicht absolut sagen, was Zahlen sind - nur relativ zu einer Rahmentheorie. >Zahlen/Frege. - - - XIII 40 Dezimalzahlen/Dimidialzahlen/Dezimalsystem/Quine: Bsp en gros: kommt von „gross“ = 1 Dutzend mal 1 Dutzend. score: = 20. Dezimalsystem: Bsp 365 = 3 x 10² + 6 x 101 + 5 x 100. XIII 41 Exponent/Hochzahlen/hoch Null/hoch 0: warum ist n0 = 1 und nicht 0? Weil wir wollen, dass n m + n immer nm x n ist. Bsp m = 0: dann ist n1 = n0, oder n = n0 x n; daher muss n0 = 1 sein. Dezimalsystem: die Positionen entsprechen einem eingebauten Abakus. Komma/Dezimalkomma: wurde durch negative Exponenten inspiriert: Bsp 3,65 = 3 x 100 + 6 10-1 + 5 x 10-2. Zählen/Division: hatte vor diesem Durchbruch wenig miteinander zu tun. Denn Teilen geschah auf der Basis von Teilung durch 2, während gleichzeitig schon im Dezimalsystem gezählt wurde. Reelle Zahlen: einige sind endlich, Bsp ½ = 0,5. Dezimalzahlen: ihre Korrespondenz mit reellen Zahlen ist nicht perfekt: jede endliche Dezimalzahl ist zu einer unendlichen äquivalent: Bsp 5 zu ,4999… Lösung: die Korrespondenz kann einfach dadurch perfekt gemacht werden, da man die „.5“ vergisst und an der „.4,999“ festhält. Unendlich/unendliche Ausdehnung/Dezimalzahl/Quine: Bsp eine sechsstellige Dezimalzahl wie 4,237251 ist der Bruch (ratio) 4.237.251 1 Mio. Unendliche Dezimalzahl: wird dann approximiert als Grenzwert durch die Reihe von Brüchen, die von immer längeren Brüchen, repräsentiert durch Abschnitte dieser Dezimalzahl. Grenzwert: kann hier wieder ein Bruch sein Bsp ,333…, oder ,1428428… oder irrational Bsp im Fall von 3.14159 ((s) Pointe: hier erstmals eine Zahl vor dem Komma, weil die konkrete Zahl π). XIII 42 Unendliche Dezimalzahlen/Quine: dürfen wir nicht als Ausdrücke ansehen! Und zwar, weil reelle Zahlen, die jegliche Ausdruckmittel übersteigen, ((s) behelfsmäßig) als unendliche Dezimalzahlen geschrieben werden. ((s) Also kann eine (notwendig endlich hingeschriebene Dezimalzahl) mehreren reellen Zahlen entsprechen). Dezimalsystem/Quine: jede Zahl >= 2 könnte statt der 10 als Basis eines Zahlsystems fungieren. Je größer die Basis, desto kompakter die Notation der Multiplikationstabelle. Dualsystem/binär/“dimidial“/binäre Zahlen/Binärsystem/Quine: aus “0 und “1”. d.h. Zahlen werden durch Halbe (partes dimidiae) zergliedert: Bsp 365 = 28 + 22 + 25 + 23 + 22 + 20. Pointe: Gesetz: jede positive ganze Zahl ist eine Summe eindeutiger (distinct) Vielfacher von 2. Das geht nur bei 2 als Basis, keiner anderen Zahl!. D.h. Bsp bei 365 kommt die 10² nicht einmal, sondern dreimal vor. Dezimalkomma/binär: in Binärnotation: die Stellen rechts sind dann negative Potenzen von 2. Bsp .0001 ist ein 16tel. Reelle Zahlen/Binärnotation: nette Konsequenz: wenn wir die Reihe der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 (ohne die 0) betrachten, haben wir eine 1:1-Korrespondenz zwischen diesen reellen Zahlen und den unendlichen Klassen von positiven ganzen Zahlen. Lösung: jede binär dargestellten reellen Zahl wird identifiziert mit einer binären Ausdehnung, die unendlich ist in dem Sinn, dass es keine letzte „1“ gibt. XIII 43 Ganze Zahlen: die korrespondierende Klasse von ganzen Zahlen ist dann die der ganzen Zahlen, die die Stellen abzählen, an denen die „1“ vorkommt. Bsp Angenommen, die binäre Darstellung der fraglichen reellen Zahl beginnt mit „001011001“: die korrespondierende Klasse von ganzen Zahlen wird dann beginnen mit 3,5,6 und 9. Denn „1“ kommt an der dritten, 5, sechsten und neunten Stelle der binären Ausdehnung (expansion) vor. Pointe: die so bestimmte Klasse ist also unendlich! Denn es gibt kein letztes Vorkommnis von „1“ in der Binärziffer (binary expansion). Und umgekehrt: Reelle Zahlen: jede unendliche Klasse von positiven ganzen Zahlen legt eine reelle Zahl fest, indem sie alle Stellen angibt, an denen „1“ statt „0“ vorkommt._____________ Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der ArgumenteDer Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
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