Philosophie Lexikon der Argumente

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Komplex: ein Komplex ist aus Komponenten zusammengesetzt, die gegeneinander abgrenzbar und relativ selbstständig sind. Komplexes Verhalten bezieht sich auf Systeme, die aus mehreren Komponenten bestehen, deren relative Selbständigkeit sich in diesem Verhalten bemerkbar macht. Die relative Selbständigkeit der Komponenten richtet sich nach der Beschreibung des gesamten Komplexes.
 
Autor/Titel Begriff Exzerpt Metadaten
Chaitin, G.
 
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Komplex/Komplexität Barrow I 78
Komplexität/Entscheidbarkeit/Paradox/Chaitin/Barrow: Anweisung: Drucke eine Folge aus, von deren Komplexität sich beweisen lässt, dass sie größer ist als die Länge dieses Programms!".
Darauf kann der Computer nicht reagieren. Jede Folge die er erzeugt, muss von geringerer Komplexität sein, als die Länge der Folge selbst (und auch als sein Programm).
(>Neumann: eine Maschine kann nur eine andere Maschine bauen, wenn diese um einen Grad weniger komplex ist, als diese selbst, >Kursbuch 8, 139 ff)
Im obigen Fall kann der Computer also nicht entscheiden, ob die Zahl R zufällig ist oder nicht. Damit ist das >Gödelsche Theorem bewiesen!
In den späten 80er Jahren fand man noch einfachere Beweise für das Gödelsche Theorem, mit denen es in Aussagen über Informationen und Zufälligkeit transformiert wurde.
Informationsgehalt/Barrow: man kann einem System von Axiomen und Regeln ein bestimmtes Maß an Information zuordnen, indem man ihren Informationsgehalt definiert als die Größe des Computerprogramms, das alle möglichen Schlussketten durchprüft.
I 78/79
Wenn man versucht, die Grenze der Beweisbarkeit durch neue Axiome zu erweitern, gibt es immer noch größere Zahlen, bzw. Ziffernfolgen, deren Zufälligkeit unbeweisbar bleibt.
Chaitin: hat mit der Diophantischen Gleichung bewiesen:

x + y² = q

wenn wir für x und y nur Lösungen mit positiven ganzen Zahlen suchen, fragte Chaitin,
I 80
ob eine solche Gleichung typischerweise endlich oder unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat, wenn wir q alle möglichen Werte q = 1,2,3,4...durchlaufen lassen.
Auf den ersten Blick kaum abweichend von der ursprünglichen Frage, ob die Gleichung für
q = 1,2,3.. eine ganzzahlige Lösung hat.
Chaitins Frage ist jedoch unendlich viel schwerer zu beantworten. Die Antwort ist in dem Sinne zufällig, dass sie mehr Information benötigt als in der Problemstellung gegeben ist.
Es gibt gar keinen Weg zu einer Lösung. Man schreibe für q 0 wenn die
Gleichung nur endlich viele Lösungen hat, und 1, falls es unendlich viele gibt.(> Kronecker Symbol). Das Ergebnis ist eine Reihe von Einsen und Nullen die eine reelle Zahl darstellt. (>Putnam)
Ihr Wert kann von keinem Computer berechnet werden.
Die einzelnen Stellen ergeben sich logisch völlig unabhängig voneinander.
omega = 0010010101001011010...
dann verwandelte Chaitin diese Zahl in eine Dezimalzahl
I 81
omega = 0,0010010101001011010...
und hatte so das Maß der Wahrscheinlichkeit dass ein zufällig gewähltes Computerprogramm irgendwann nach einer endlichen Schrittzahl aufhört. Ist immer ungleich 0 und 1.
Noch eine weitere wichtige Konsequenz: wählen wir irgendeine sehr große Zahl für q so gibt es keinen Weg, zu entscheiden, ob die q te Binärstelle der Zahl omega eine Null oder eine Eins ist. Das menschliche Denken hat keinen Zugang zu einer Antwort zu dieser Frage.
Die unausweichliche Unentscheidbarkeit mancher Aussagen folgt aus der zu geringen Komplexität des Computerprogramms, das allerdings auf der Arithmetik basiert.



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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 24.04.2017