Philosophie Lexikon der Argumente

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Gödel, K.
 
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Widerspruchs- Freiheit Waismann I 72 ff
Widerspruchsfreiheit/Gödel/Waismann: Der Nachweis der Widerspruchsfreiheit eines Systems kann mit den Mitteln dieses Systems nicht erbracht werden.
Gödel: fügt man den Peanoschen Axiomen noch die des Logikkalküls hinzu und nennt das entstandene System P, so lässt sich kein Beweis für die Widerspruchsfreiheit von P führen, der in P formuliert werden könnte, vorausgesetzt, dass P widerspruchsfrei ist.
(Wäre P widerspruchsvoll, könnte jede Aussage bewiesen werden, z.B. auch, dass P widerspruchsfrei sei).
I 73
Gödel: Jede Arithmetik ist lückenhaft, in jedem der vorhin genannten formalen Systeme gibt es unentscheidbare arithmetische Sätze und für jedes dieser Systeme lassen sich arithmetische Begriffe angeben, die in diesem System nicht definierbar sind.
Bsp Es lässt sich für jedes formale System S eine reelle Zahl konstruieren, die in S nicht definiert werden kann.
Man darf das nicht so verstehen, dass damit bewiesen wäre, dass es unlösbare mathematische Probleme gäbe.
Vielmehr bezieht sich der Begriff "lösbar" oder "entscheidbar" immer nur auf ein bestimmtes formales System. Wenn ein Satz in diesem System unentscheidbar ist, gibt es immer noch die Möglichkeit, eine reicheres System zu konstruieren, in dem der Satz entscheidbar ist.
Aber es gibt kein System, in dem alle arithmetischen Sätze entscheidbar, oder alle Begriffe definierbar wären.
Das ist der tiefere Sinn von Brouwer: Alle Mathematik sei wesentlich geistiges Handeln: eine Reihe von Konstruktionsschritten, und keine starres System von Formeln, das fertig vorliegt oder auch nur vorliegen könnte.
Mathematik ist unabgeschlossen. Die Aussage, dass das System S widerspruchsfrei ist, ist in S unentscheidbar.
I 74
Waismann: Kann durch derlei Untersuchungen die Arithmetik überhaupt begründet werden? Und Geometrie: Wenn es mehrere Geometrien gibt, wie sind sie auf unsere Erfahrungswert anwendbar?
Begründung der Geometrie/Waismann: a) Eine Gruppe von Sätzen auswählen, die Unabhängigkeit, Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit dartun.
b) Die Anwendbarkeit sicherstellen.

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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 26.04.2017