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Mengen: Zusammenfassung von Gegenständen in Bezug auf eine Eigenschaft. In der Mengenlehre werden Bedingungen für die Bildung von Mengen aufgestellt. Im Allgemeinen werden Mengen von Zahlen betrachtet. Alltägliche Gegenstände als Elemente von Mengen sind Sonderfälle und werden Urelemente genannt. Mengen sind im Gegensatz zu z.B. Folgen nicht geordnet, d.h. es ist keine Reihenfolge für die Betrachtung der Elemente festgelegt. Siehe auch Elementrelation, Teilmengen, Mengenlehre, Axiome. _____________Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente. | |||
Autor | Begriff | Zusammenfassung/Zitate | Quellen |
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Leon Henkin über Mengen – Lexikon der Argumente
Quine IX 222 Menge/Quine: die Bedingung, eine Menge zu sein: "Ey(z ε y)". (6) {x:∀y[(0 ε y u S'' y ≤ y) › x ε y } ≠ {x: ∀y[(y e ϑ u 0 ε y u S''y ≤ y) › x ε y]}. Hier enthält die rechte Seite Extras! 0,1,2 und ihre Nachfolger gehören zu beiden Klassen. Eine Ungleichheit müsste daher den rechten und nicht den linken Ausdruck als Version von "N" diskreditieren. IX 223 Rechts enthält natürlich keine Extras, wenn es eine Menge y gibt, deren Elemente genau 0,1,2 und ihre Nachfolger sind. Dann wird im Gegenteil die rechte Seite genau diese Klasse y sein. Gibt es umgekehrt keine solche Menge y, dann enthält die rechte Seite Extras. Denn die Formel erweist sich als stratifiziert, also qualifiziert sich die Klasse als Menge, also würde sie selbst als Menge y gelten, es sei denn, sie enthält Extras. Pointe: können wir uns in jedem Fall darauf verlassen, dass die linke Seite die knappere der beiden, genau 0,.1,2 und ihre Nachfolger enthält? Nein! Henkin: einfacher Beweis, dass keine irgendwie geartete Definition von "N" uns in die Lage versetzt zu beweisen, dass N gerade 0,1,2 und ihre Nachfolger ohne Extras enthält. Solange "0 ε N", "1 ε N", "2 ε N" usw. alle gelten, kann kein Widerspruch in der Annahme auftreten kann, dass außerdem noch ein x ε N existiert mit (7) x ε N, x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ 2... ad infinitum Beweis: …da ein Beweis nur endlich viele Prämissen verwenden kann, benutzt jeder Beweis eines Widerspruchs aus (7) nur endlich viele der Prämissen (7), jede solche endliche Menge ist aber für ein gewisses x wahr. Klassen/Quantifikation/Begriffe/Quine: die Quantifikation über Klassen ermöglicht uns Begriffe, die sonst außerhalb unserer Reichweite lägen.(s.o. Abschnitt II) Bsp "und ihre Nachfolger". Bsp Vorgänger. Universum/Mengenlehre/Quine: ist eine ungeregelte Angelegenheit, die von Theorie zu Theorie anders aussieht. Begriff/Mengenlehre: eine ähnliche Relativität muss bei den Begriffen befürchtet werden. Das wurde von Skolem (1922/23) betont. Insbesondere für das täuschend vertraute "und ihre Nachfolger". >Widerspruchsfreiheit/Henkin. Def omega-widerspruchsvoll/(w)/Gödel: (Gödel 1931) ist ein System, wenn es eine Formel "Fx" gibt derart, dass jede einzelne der Aussagen "F0", "F1", "F2",... ad infinitum in dem System bewiesen werden kann, aber gleichermaßen auch "Ex(x ε N und ~Fx)". >Beweise, >Beweisbarkeit._____________ Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der ArgumenteDer Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente. |
Henkin I Leon Henkin Retracing elementary mathematics New York 1962 Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |