Philosophie Lexikon der Argumente

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Beweistheorie (Mathematik, Logik): hier geht es um die Existenz oder Nichtexistenz von endlichen Zeichenketten, aus denen sich eine Aussage herleiten lässt. Daher gehört die Beweistheorie zur Syntax, im Gegensatz zur Modelltheorie, die zur Semantik gehört. Modelltheorie, Semantik, Syntax, Beweis.
 
Autor/Titel Begriff Exzerpt Metadaten
Hilbert, D.
 
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Beweistheorie Berka I 384
Beweistheorie/Hilbert: zunächst werden die Begriffe und Sätze der zu untersuchenden Theorie durch ein formales System dargestellt, und ohne Bezugnahme auf ihre Bedeutung nur formal behandelt.
I 385
Beweistheorie: diese (daran anschließende) Untersuchung ist auf die logische Bedeutung ihrer Begriffe und Schlussweisen angewiesen. Der formalen Theorie wird also eine sinnvolle Metatheorie (Beweistheorie) gegenübergestellt. (Schütte, 1960, S. 2f).

Berka I 395
Beweistheorie/Hilbert: Grundgedanke, These: alles was bisherige Mathematik ausmacht, wird streng formalisiert, so wird die eigentliche Mathematik ein Bestand an Formeln. Neu dabei: zusätzlich die logischen Zeichen "folgt" (›) und "nicht".
Schlussschema:

S
S › T
T

wo jedesmal die Prämissen, d.h. (S und S › T) jede entweder ein Axiom ist, bzw. durch Einsetzung aus einem Axiom entsteht oder mit der Endformel übereinstimmt.
Def beweisbar/Hilbert: ist eine Formel, wenn sie entweder Axiom oder durch Einsetzen aus diesem entsteht, oder Endformel eines Beweises ist.

Metamathematik/Beweistheorie/Hilbert: kommt nun zur eigentlichen Mathematik hinzu: im Gegensatz zu den rein formalen Schlussweisen der eigentlichen Mathematik kommt hier das inhaltliche Schließen zur Anwendung. Allerdings lediglich zum Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Axiome.
In dieser Metamathematik wird mit den Beweisen der eigentlichen Mathematik operiert und diese bilden selbst den Gegenstand der inhaltlichen Untersuchung.
So vollzieht sich die Entwicklung des mathematischen Gesamtwissens auf zweierlei Art:
a) durch Gewinnung neuer beweisbarer Formeln aus den Axiomen durch formales Schließen und
b) durch Hinzufügung neuer Axiome nebst Nachweis der Widerspruchsfreiheit durch inhaltliches Schließen.

Berka I 395
Wahrheit/absolute Wahrheit/Hilbert: Axiome und beweisbare Sätze sind Abbilder der Gedanken, die das Verfahren der bisherigen Mathematik ausmachen, aber sie sind nicht selbst die absoluten Wahrheiten.
Def absolute Wahrheit/Hilbert: sind die Einsichten, die durch meine >Beweistheorie hinsichtlich der Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit der Formelsysteme geliefert werden.
Durch dieses Programm ist die Wahrheit der Axiome für unsere Beweistheorie schon vorgezeichnet.

Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 28.03.2017