Philosophie Lexikon der Argumente

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Hilbert, D.
 
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Unendlichkeitsaxiom Berka I 122
Def Zahl/logische Form/erweiterter Funktionenkalkül/Hilbert: auch der allgemeine Zahlbegriff lässt sich logisch formulieren: Soll ein Prädikatenprädikat φ(F) eine Zahl darstellen, so muss φ folgenden Bedingungen genügen:
1. Bei zwei gleichzahligen Prädikaten F und G muss φ für beide zutreffen oder für beide nicht zutreffen
2. Sind zwei Prädikate F und G nicht gleichzahlig, darf φ höchstens für eins der beiden Prädikate F und G zutreffen.
logische Form:

(F)(G){(φ(F) & φ(G) > Glz (F,G) & [φ(F) & Glz (F,G) > φ(G)]}.

Der ganze Ausdruck stellt eine Eigenschaft von φ dar. Bezeichnen wir diese mit Z(φ), können wir also sagen:

Eine Zahl ist ein Prädikatenprädikat φ, das die Eigenschaft Z(φ) besitzt.

Problem/>Unendlichkeitsaxiom/Hilbert: tritt auf, wenn wir nach den Bedingungen fragen, unter der zwei Prädikatenprädikate φ und ψ mit den Eigenschaften Z(φ) und Z(ψ) dieselbe Zahl definieren.
Unendlichkeitsaxiom/Gleichzahligkeit/Hilbert: die Bedingung für die Gleichzahligkeit bzw. dafür, dass zwei Prädikatenprädikate φ und ψ dieselbe Zahl definieren, besteht darin, dass φ(P) und ψ(P) für dieselben Prädikate P wahr und für dieselben Prädikate falsch sind, dass also die Beziehung besteht:

(P)(φ(P) ↔ ψ(P))

I 122
Problem: wenn der Gegenstandsbereich endlich ist, werden alle Zahlen gleichgesetzt, die größer sind als die Anzahl der Gegenstände im Individuenbereich. Denn ist die Anzahl z.B. kleiner als 10 hoch 60 und nehmen wir für φ und ψ die Prädikate, die die Zahlen 10 hoch 60 und 10 hoch 60 + 1 definieren, so trifft sowohl φ als auch ψ auf kein Prädikat P zu.
Die Relation

(P)(φ(P) ↔ ψ(P))

ist also für φ und ψ erfüllt, d.h. φ und ψ würden dieselbe Zahl darstellen.
Lösung/Hilbert: Unendlichkeitsaxiom: man muss den Individuenbereich als unendlich voraussetzen. Auf einen logischen Nachweis für die Existenz einer unendlichen Gesamtheit wird dabei freilich verzichtet.

Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 30.04.2017