Philosophie Lexikon der Argumente

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Thiel, Christian
 
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Russells Paradoxie I 313 ff
Russellsche Paradoxie/Thiel: unabhängig und früher von Zermelo entdeckt, allerdings nicht veröffentlicht. Bsp Während die Menge der Vögel selbst kein Vogel ist, also kein Ding der Art, die sie selbst als Elemente unter sich befasst, ist die Menge aller Mengen offenbar eine Menge (Bsp' die Menge aller Begriffe ist auch ein Begriff).
Das ist der Ausnahmefall, während Mengen, die sich nicht als Element enthalten der Normalfall sind. Eine Menge A kann also "normal" sein oder nicht. Daher können wir insbesondere Fragen, ob die Menge aller Mengen selbst normal ist oder nicht.
Beachten wir die Erklärung der Elementbeziehung durch x ε {y|B(y)} <> B(x), so folgt aus der Annahme, R sei nicht normal, dass R Element der Menge R der normalen Mengen, also normal ist.
Andererseits besagt die Normalität von R nach der R definierenden Bedingung, dass ~(R ε R) gilt, dass also R nicht Element der Menge aller normalen Mengen, also nicht normal ist.
Aus (R ε R) folgt ~(R ε R) und aus ~(R ε R) folgt ~(~(R ε R)).
I 316
Die gedankliche Operation war u.a. der Übergang von der Aussage, dass ein Ding eine Eigenschaft habe, zu der Aussage, dass es der Menge aller Dinge mit dieser Eigenschaft angehöre.
Das führte zur "Grundlagenkrise" in der Mathematik. Wie soll man reagieren?
I 317
1. Könnte man bestreiten, dass solche Antinomien die Mathematik überhaupt tangieren. Man könnte schlicht behaupten, die beteiligten Begriffsbildungen und Schlüsse kämen in der Analysis z.B. gar nicht vor.
2. Man könnte die bei der Heranziehung verwendeten Begriffe und Schlüsse selbst als inkorrekt bezeichnen.
I 318
3. Wäre es denkbar, dass die Antinomien überhaupt nicht als ernstzunehmende "Sätze" angesehen würden. Sondern nur als an den Haaren herbeigezogen. Dann stünden sie auf einer Stufe mit den Paradoxien.
Wenn die Antinomien in früheren Zeiten nicht ernst genommen wurden, so lag das auch daran, dass die Mathematik von einem deduktiven Aufbau weit entfernt war.
I 319
Zu Anfang schien es, als wiesen die Antinomien einen gemeinsamen Fehler auf, dessen Vermeidung dann nicht mehr schwierig schien: Bildet man die Menge aller Mengen, so ist das offenbar die größte Menge überhaupt.
Doch wie zu jeder Menge können wir auch zu ihr (z.B. "A") die Potenzmenge PA bilden die größer ist als A - ein Widerspruch.
Menge aller Mengen: Problem: kann nicht die größte sein, weil ihre Potenzmenge größer sein muss
Bildet man die Menge aller Ordnungszahlen, so bestimmt diese Menge selbst einen Ordnungstypus mit der Ordnungszahl Ω. Von dieser lässt sich zeigen, dass sie um 1 größer ist, als die größte Ordnungszahl in der Reihe aller Ordnungszahlen. Da in dieser Reihe auch Ω selbst vorkommen muss wäre das wieder ein Widerspruch.
Es scheint, dass die Bildung jeweils aller Mengen zu weit geht, und ähnlich wie Bildung einer obersten Gattung (summum genus) in der traditionellen Begriffslehre durch eine Größenbegrenzung für zulässige Mengen ausgeschlossen werden müsste.
I 320
Zunächst schien ein solches Verbot gar nicht alle Probleme zu lösen, z.B. die Zermelo-Russellsche Antinomie gar nicht zu berühren, es sei denn, man wollte ausnahmslos alle Zusammenfassungen verbieten, was schon den Aufbau der Analysis beeinträchtigt hätte.
Lag nicht doch einfach ein Fehlschluss vor, wie bei den Paradoxien des Unendlichen vom Typ der in einem echten Teil Ganzes Verhältnis stehenden und dennoch gleichmächtigen unendlichen Mengen vor?
I 322
Russellsche Antinomie/Lösung: ein Versuch, die Russellsche Paradoxie zu vermeiden wäre, statt "alle" immer "alle, welche" zu sagen. Damit fällt nun der Verdacht auf das "alle".
Poincaré sah diesen Verdacht bestätigt und behauptete:
Bedingungen wie "~(x  x) sind ungeeignet, eine Menge zu bestimmen, denn sie verlangen einen circulus vitiosus. Er hatte diese Diagnose nicht anhand der Russellschen Antinomie, sondern der von Jules Richard konstruierten Antinomie gefunden.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995



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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 27.04.2017