Philosophie Lexikon der Argumente

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Thiel, Christian
 
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Verallgemeinerung Thiel I 180
Allgemeinheit/Verallgemeinerung/unendlich/Mathematik/Aussagen/Thiel: Wer hätte je daran gezweifelt, dass der Pythagoreische Lehrsatz auf unendlich viele Fälle anzuwenden ist?
I 181
Problem: dass in der Formulierung des Lehrsatzes als Maßzahlen für die Katheten der rechtwinkligen Dreiecke auch irrationale Zahlen zugelassen sind, für die wir bisher keine Abzählung wie bei den rationalen Zahlen kennen.
Gäbe es eine solche, könnten wir durch Kombination mit einer Abzählung der rationalen Zahlen die Gesamtheit der reellen Zahlen abzählen.
Cantors Verdienst war es, die Unmöglichkeit davon durch sein Diagonalverfahren zu zeigen. I 181 Tabelle mit Kolumnen und Spalten, die von Diagonalen geschnitten werden.
I 182
Def Dualfolge/(s): Folge von (binären) Entscheidungen, ob ein Punkt auf der linken oder rechten Hälfte einer halbierten Strecke liegt. Das führt zu jeder rationalen Zahl.
I 184
Aber es führt zu einem Widerspruch. Dann wäre
1 bii = bii .
die Annahme, dass in der betrachteten (beliebigen) Liste die als "Negativ" ihrer Diagonalen konstruierte Dualfolge schon vorkäme führt auf eine Absurdität.
Danach ist aber auch die Gesamtheit aller reellen Zahlen im Intervall 0,1 nicht in einer Liste (wie Cantor zeigt auch nicht in einer unendlichen Liste) erfassbar, sie ist nicht abzählbar.
I 185
Also auch nicht außerhalb des Intervalls.
I 186
Kontinuum/Russell: (u.a.) sieht im Kontinuum einen arithmetischen Begriff, andere einen geometrischen.
I 189
Neu: Moderne Mathematik I 189 (Topologie) hat den der aristotelischen "Grenze" entsprechenden Begriff des "Randes" einer Punktmenge so gefasst, dass ein Punkt sein eigener Rand sein kann. > Grenzen.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995

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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 23.03.2017