Philosophie Lexikon der Argumente

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Waismann, Friedrich
 
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Löwenheim, Satz v. Waismann I 75
Löwenheim-Skolem/Waismann: bewies, dass es ausgeschlossen ist, mit endlich vielen Axiomen die Zahlenreihe zu charakterisieren.
Jede Aussage die in der Arithmetik der natürlichen Zahlen gilt, gilt nämlich auch für Gebilde anderer Art, so dass es unmöglich ist, die Zahlenreihe durch irgendwelche inneren Eigenschaften vor Reihen anderer Art auszuzeichnen.
Bsp Frappantes und nicht triviales Beispiel ist, dass die Umdeutung des Begriffs der ganzen Zahl möglich ist, obwohl soviel gefordert wird, dass man glauben könnte, diese Sätze könnten nur für die ganzen Zahlen gelten:
I 76
Die ganzen Zahlen sind
1. linear geordnet
2. Sie reproduzieren sich durch Addition, Multiplikation, Subtraktion. Komm. Asso., Distr. usw. Null Element, Einselement,
3. Begriffe der Teilbarkeit, der Einheiten, relativ prim usw : sind a und b relativ prim, so gibt es zwei Zahlen x und y derart, dass ax by = 1 ist.
Nun kann man auch Polynome der Form

antn + an 1tn 1 + ....a1t + ao

nach den 5 Axiomen bilden, die ursprünglich nur für natürlichen Zahlen gedacht waren.
Satz von Löwenheim Skolem: eine solche Umdeutung wird stets möglich sein, durch wie viele Eigenschaften man auch den Begriff der natürlichen Zahlen zu fassen sucht.

Wa I
F. Waismann
Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996

Wa II
F. Waismann
Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976

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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 25.03.2017