Philosophie Lexikon der Argumente

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Satz vom Ausgeschlossenen Dritten: eine Behauptung ist entweder wahr oder falsch. "Es gibt kein Drittes". Siehe auch Bivalenz, Zweiwertigkeit, Antirealismus, Mehrwertige Logik, Intuitionismus.
 
Autor/Titel Begriff Exzerpt Metadaten
Lorenzen, Paul
 
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Ausgeschlossenes Drittes P. Lorenzen Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium (1959) in Karel Berka/L. Kreiser Logik Texte Berlin, 1983

Berka I 271
Satz vom Ausgeschlossenen Dritten/Dialogische Logik/intuitionistisch/logische Konstanten/Lorenzen: gibt man den Partikeln auch in der Metasprache ihren dialogischen Sinn, so kann man natürlich nicht mehr allgemein das nur klassisch gültige A v i A beweisen.
Lösung/Gentzen: man betrachtet die Sequenzen mit zusätzlichen unendlichen Regeln:

(n)A > B(n) v C > A > (x)B(x) v C

(n)A u B(n) > C > A u (Ex)B(x) > C

die zur Ableitung zugelassen werden.
Axiom: als Axiome werden alle Sequenzen

A u p > q v B

für falsche bzw. wahre konstante Primformeln p bzw. q zugelassen.
LorenzenVsRekursivität/LorenzenVsFormalismus: das ist kein Formalismus im Sinn einer Definition einer rekursiven Aufzählung mehr, sondern ein "Halbformalismus" (Begriff von Schütte).
Dieser ist trivialerweise widerspruchsfrei (wsf). Jede in der Peano Arithmetik ableitbare Formel ist es auch hier.
Das ist ein "konstruktiver" Widerspruchsfreiheitsbeweis, wenn man das dialogische Verfahren als konstruktiv anerkennt.
I 272
Unendlich/Prämissen/dialogische Logik/Lorenzen: man kann zu jeder im Peano Formalismus ableitbaren Formel eine Schrittzahl l < e0 mit

e0 = w hoch w hoch w hoch...

angeben.
P kann also aus einer ihm von O gegebenen Ableitung einer Formel zunächst eine Ordinalzahl l < e0 berechnen, ferner die Regel im Halbformalismus angeben, nach der diese Formel dort im letzten Schritt abzuleiten ist und, wenn O jetzt eine der Prämissen wählt, so kann er dafür eine kleinere Ordinalzahl berechnen. Das Berechnungsverfahren ist dabei rekursiv, also sogar im engsten Sinn konstruktiv.
Die Aussageformen, die im Widerspruchsfreiheitsbeweis gebraucht werden, sind dagegen im allgemeinen nicht rekursiv.

Lorn I
P. Lorenzen
Constructive Philosophy Cambridge 1987

Brk I
K. Berka/L. Kreiser
Logik Texte Berlin 1983

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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 28.04.2017