Philosophie Lexikon der Argumente

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Axiom: Grundsatz oder Regel für die Verknüpfung von Elementen einer Theorie, der nicht innerhalb der Theorie bewiesen wird. Es wird angenommen, dass Axiome wahr und evident sind. Das Hinzufügen oder Eliminieren von Axiomen verwandelt ein System in ein anderes System. Entsprechend sind mehr oder weniger Aussagen in dem neuen System konstruierbar oder ableitbar. Siehe auch Systeme.
 
Autor/Titel Begriff Exzerpt Metadaten
Dedekind, R.
 
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Axiome Thiel I 208
Axiome/Dedekind/Thiel: Von Axiomen wird Evidenz, d.h. unmittelbares Einleuchten ihrer Wahrheit verlangt. Euklids Axiome waren überschaubar, heutige Axiomensysteme können fast unübersehbar wuchern. Aus den Axiomen soll jeder Satz ableitbar sein.
Diese Ableitbarkeit besteht aber für jeden Satz einzeln. Der Plural von "Geometrien" zeigt einen Wandel im Begriff der Geometrie selbst.
I 209
Dedekind machte als erster den Versuch, auch die rechnende Disziplin der Arithmetik zu axiomatisieren (nicht Peano).
Def "Grundeigenschaften"/Dedekind: sind solche, die sich nicht auseinander ableiten lassen. >Eigenschaft.
Dedekind Peano Axiome:
(1) 1 ε Z
(2) (m)((m ε Z) > (m' ε Z))
(3) (m ε Z)(n ε Z)((m' = n') > (m = n))
(4) (m ε Z) ~(m' = 1)
(5) (m ε Z)((E(m) > E(m')) >(E(1) > (n ε Z)((E)(n))

I 210
Dedekind und Peano benutzen beim 5. Axiom statt "ε" "m enthalten in der Menge M".
Thiel: das ist aber nicht notwendig.
Wir überzeugen uns, dass die natürlichen Zahlen das Axiomensystem erfüllen, indem wir einsetzen. Die fünf Axiome gehen dann in wahre Sätze über, wofür wir auch sagen, dass die natürlichen Zahlen mit den genannten Eigenschaften und Relationen ein >Modell des Axiomensystems bilden.
I 211
Die konstruktive Arithmetik mit dem Kalkül N und der Konstruktionsgleichheit von Zählzeichen liefert ein operatives Modell der Axiome. Mathematiker verfahren in der Praxis und in Büchern keineswegs so. Die ist Praxis nicht lückenlos.
I 213
Insistieren auf "sauberen" Lösungen kommt erst bei metamathematischen Bedürfnissen auf.

T I
Chr. Thiel
Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995

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Hg. Martin Schulz, Abfragedatum 30.04.2017