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Kurt Gödel: Kurt Gödel (1906 - 1978) war ein Logiker, Mathematiker und Philosoph. Am bekanntesten ist er für seine Unvollständigkeitssätze, die zeigen, dass es in jedem axiomatischen System, das stark genug ist, um die Grundrechenarten auszudrücken, immer Aussagen geben wird, die in diesem System weder bewiesen noch widerlegt werden können. Wichtige Werke sind Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (1931),
Beweis der Widerspruchsfreiheit des allgemeinen relativistischen Gravitationsfeldes (1939), Was ist Cantors Kontinuumproblem? (1947), Russells mathematische Logik (1951), Über unentscheidbare Sätze in formalen Systemen der Mathematik (1956). Siehe auch Unvollständigkeit, Vollständigkeit, Beweise, Beweisbarkeit._____________Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente. | |||
Autor | Begriff | Zusammenfassung/Zitate | Quellen |
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Hennig Genz über Gödel – Lexikon der Argumente
II 213 Gödel/Unvollständigkeit/Hilbert/Genz: Hilbert hatte 1917 das Programm aufgestellt, die ganze Mathematik in einem Schema in der Logik 1. Stufe zusammenzufassen. Gödel bewies 1931, dass dies nicht möglich ist. Es gelingt wohl für die Euklidische und Nicht-Euklidische Geometrie, aber nicht für Addition und Multiplikation, wenn man ihre Ableitungsregeln zusammen nimmt. Dabei geht es immer um Sätze, die in einer Sprache zwar formuliert, aber weder abgeleitet noch widerlegt werden können. >Unvollständigkeit. Reichhaltigkeit/Genz: In armen Sprachen können alle Aussagen, die in ihnen formuliert werden können, entweder abgeleitet oder widerlegt werden. Je reicher sie sind, desto mehr Aussagen können formuliert werden, bei denen das nicht gelingt. >Semantische Geschlossenheit. II 214 Diese Sätze stellen eine Behauptung über sich selbst auf, nämlich, dass sie nicht abgeleitet werden können. Lösung: Eine Lösung bietet die Erweiterung der Sprache. Bsp Seine Negation als Axiom hinzunehmen. >Erweiterung, >Stufen (Ebenen), >Beschreibungsebenen. Problem: In jeder Erweiterung gibt es wieder neue nicht-ableitbare Sätze. Ableitbarkeit: Eine Sprache, in der jeder überhaupt sinnvolle Satz abgeleitet werden könnte, würde erlauben, Widersprüche abzuleiten. >Ableitung, >Ableitbarkeit, >Widersprüche._____________ Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der ArgumenteDer Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente. |
Gz I H. Genz Gedankenexperimente Weinheim 1999 Gz II Henning Genz Wie die Naturgesetze Wirklichkeit schaffen. Über Physik und Realität München 2002 |