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| Unendlichkeit, Unendliches, Philosophie: Resultat einer nicht abbrechenden Prozedur, z.B. des Zählens oder Teilens, oder z.B. die fortgesetzte Beschreibung einer Kreisbewegung. In lebensweltlichen Zusammenhängen sind unendlich fortgesetzte Prozesse wie z.B. unendliche Wiederholung oder niemals beendetes Abwarten zumindest logisch nicht widersprüchlich. Eine Bildungsvorschrift muss nicht existieren damit sich eine unendliche Fortsetzung ergibt wie z.B. bei der Entwicklung der Nachkommastellen von reellen Zahlen. Siehe auch Grenzen, Unendlichkeitsaxiom, Wiederholung, Finitismus, Zahlen, Komplex/Komplexität._____________Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente. | |||
| Autor | Begriff | Zusammenfassung/Zitate | Quellen |
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Christian Thiel über Unendlichkeit – Lexikon der Argumente
Thiel I 59 Unendlich/Thiel: zur "Potentialität" der Wahl muss man nicht alle Grundzahlen in ihrer "Aktualität" aufmarschieren lassen. Wenn die Endlichkeit auch in gewissem Sinn in der Unendlichkeit vorkommt, ist doch nicht jeder Satz über Endliches normalerweise ein Spezialfall von Sätzen über Unendliches. I 60 Bsp Untersuchung, ob es vielleicht eine Reihe der Eigenschaften der Grundzahlen gibt, ähnlich wie die Reihe der Grundzahlen selbst. Dafür müssen wir zwischen Eigenschaften und Aussageformen unterscheiden, durch die wir sie darstellen. Hier einstellige Aussageform: Bsp die Eigenschaft, eine gerade Zahl zu sein. Mittels Strichliste I 60 ...+ Frage: ob sich in einer beliebigen arithmetisch geeigneten Sprache die eine Eigenschaft von Grundzahlen darstellenden Aussageformen in eine Reihe ordnen lassen: Cantor Diagonalverfahren/Thiel: Es wird unendlich viele solche Aussagenformen geben. Wir hätten die unendliche Reihe Aq(m), A2(m), A3(m), ... I 62 ... die Aussageform "~An(n)" stellt eine wohldefinierte Eigenschaft von Grundzahlen dar, sofern uns nur eine Reihe wie oben gegeben ist. In dieser Reihe kann aber keine zu der neu konstruierten Aussageform logisch äquivalente Aussageform und insbesondere nicht sie selbst vorkommen! Thiel I 157 Unendlich/Thiel: Bsp "Es gibt unendlich viele Primzahlen". Zur Erfassung dieses Satzes genügt natürlich nicht eine Formulierung im Sinne von "Zu jeder Primzahl gibt es eine weitere". Denn dies würde ja auch gelten, wenn 2 und 3 die einzigen Primzahlen wären! Gemeint ist aber, dass es zu beliebig vielen Primzahlen stets mindestens eine von ihnen allen verschiedene weitere gibt. I 158 Das kann man anders viel einfacher angeben, nämlich mittels einer Ordnungsbeziehung. (m)(En) (m Dadurch wird ausgedrückt, dass es unendlich viele Grundzahlen gibt. Obwohl es unendlich viele Primzahlen gibt, können wir zu einer Einkleidung des Euklidischen Satzes nicht einfach auf einem zum gerade gewählten parallelen Weg gelangen, indem wir p und q für m und n einsetzen. Denn ein vergleichbarer Kalkül ist für Primzahlen bisher nicht bekannt. Das "im weiteren Sinne kalkulatorische" Verfahren aber, zu je endlich vielen Primzahlen eine weitere zu berechnen, bildet bereits selbst den Beweis des Euklidischen Satzes. ..+..I 160 Begründung des Euklidischen Satzes. I 161 Unendlich: Bsp die geraden Zahlen bilden nur "die Hälfte" des Bereichs der Grundzahlen, dennoch gibt es unendlich viele gerade Zahlen, und zwar genauso vielen, wie man durch paarweise Zuordnung erfährt: 1 2 3 4 5 ... 2 4 6 8 10... Galilei wandte das auch auf Quadratzahlen an, und erklärte, dass wir dem Unendlichen irrigerweise "Eigenschaften zusprechen, die wir an dem Endlichen kennen". Aber die Attribute "groß" und "klein" kommen dem Unendlichen nicht zu. Lange nach Galileis "Discorsi" hat die Mathematik Wege gefunden, von "größer" und "kleiner" zu sprechen, wenn auch nicht in dem Sinn der Wegnahme eines Teilbereichs, so dass die Gegenstände des Teilbereichs oder die verbliebenen wechselseitig eindeutig zugeordnet werden könnten. I 162 Neu war, dass die Bereiche z.B. der Primzahlen, Geraden, Ungeraden Ganzen usw. alle "gleich viele" Gegenstände zu enthalten schienen. I 163 Das wird durch umkehrbar eindeutige Zuordnung von Zahlenpaaren gezeigt. ((s) Dazu ausführlicher Waismann). >F. Waismann. I 164 An diesen Erörterungen zeigt sich der Widerstreit zweier Auffassungen vom Unendlichen: Eigenschaft oder Prozess. >Unendlich/Cantor._____________ Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der ArgumenteDer Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
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