Lexikon der Argumente


Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten
 
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Benennen Quine II 61
Benennen: ist ein Name oder ein singulärer Term. Bezeichnen: ist ein Prädikat. Beides ist Bezugnahme, nicht Bedeutung. Verschiedene Kennzeichnungen können dasselbe benennen, aber verschiedene Bedeutung haben. >Singuläre Termini/Quine; >Prädikate/Quine.
VIII 27
Synkategorematische Ausdrücke wie "auf" benennen nichts. Ebenso können wir annehmen, dass Wörter wie "Einhorn" nichts benennen; weder etwas Abstraktes noch etwas Konkretes. Dies gilt ebenso für "-keit" oder Satzzeichen. Die bloße Eignung, in einem Satz aufzutreten, macht keine Zeichenkette zu einem Namen. >Namen/Quine.
Nominalismus: der Nominalismus deutet alle Wörter als synkategorematisch! >Nominalismus/Quine.

Ad XI 173 Anmerkung 18:
Sätze/QuineVsFrege/Lauener: Sätze benennen nicht! Daher können von ihnen keine Namen (durch Anführungszeichen) gebildet werden.
XI 173
Substitutionale Quantifikation/Ontologie/Quine/Lauener: die substitutionale Quantifikation geht insofern keine ontologische Verpflichtung ein, als die eingesetzten Namen nichts benennen müssen. D.h. wir sind nicht gezwungen, Werte der Variablen anzunehmen.
XI 49
QuineVssubstitutionale Quantifikation: gerade mit der substitutionalen Quantifikation verschleiern wir die Ontologie, indem wir aus dem Sprachlichen nicht herauskommen. >Substitutionale Quantifikation.
XI 132
Sinn/Benennen/singulärer Term/Quine/Lauener: der Sinn braucht nichts zu benennen, um sinnvoll zu sein. Bsp "Einhorn": Unterschied Sinn/Bedeutung/Referenz. >Einhorn-Beispiel.
XII 73
Unterscheidbarkeit/reelle Zahlen/Quine: Pointe: zwei beliebige reelle Zahlen sind immer unterscheidbar, auch wenn sich nicht jede reelle Zahl benennen lässt! ((s) Es gibt nicht genug Namen). Denn es gilt immer x < y oder y < x, es gilt aber niemals x < x.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Bereiche Logik-Texte Re III 57
Substitutionskriterium/ VsSubstitutionskriterium/VsBolzano: führt zu absurden Resultaten: weil es gewisse ungültige Folgerungen für gültig erklärt - Bsp »es gibt mindestens zwei Dinge«. Es ist keine Sache der Logik, daß es mindestens zwei Dinge gibt - dann kann man genauso gut sagen »es gibt zwei Dinge, also gibt es 76 Dinge« - Lösung/Tarski: Bereich festlegen - dann kann "Es gibt mindestens 2 Dinge" evtl. falsifiziert werden und ist keine logische Wahrheit mehr.
Texte zur Logik
Me I Albert Menne Folgerichtig Denken Darmstadt 1988
HH II Hoyningen-Huene Formale Logik, Stuttgart 1998
Re III Stephen Read Philosophie der Logik Hamburg 1997
Sal IV Wesley C. Salmon Logik Stuttgart 1983
Sai V R.M.Sainsbury Paradoxien Stuttgart 2001
Ontologische Verpflichtung Quine Lauener XI 130
Ontologische Verpflichtung/Quine/Lauener: besteht nur, wenn ein Objekt allen verschieden reinterpretierten Bereichen gemeinsam ist - (unter Beibehaltung der Interpretation der Prädikate). - Die Theorie setzt Gegenstände nur dann voraus, wenn sie falsch sein müsste, wenn diese nicht existierten - Bsp "Objekte dieser oder jener Art": hier ist man auf Hunde verpflichtet, wenn jeder dieser Bereiche den einen oder anderen Hund enthält.
XI 48
Substitutionale Quantifikation/sQ/Ontologie/Quine/Lauener: die sQ geht insofern keine ontologische Verpflichtung ein, als die eingesetzten Namen nichts benennen müssen. D.h. wir sind nicht gezwungen, Werte der Variablen anzunehmen.
XI 49
QuineVssubstitutionale Quantifikation: gerade damit verschleiern wir die Ontologie, indem wir aus dem Sprachlichen nicht herauskommen.
XI 133
Ontologie/Modalität/LauenerVsQuine: es fällt auf, dass in seinen Formulierungen intensionale Ausdrücke wie „müssen unter den Werten der Variablen vorkommen“, „müssen wahr sein von“ usw. vorkommen. Oder auch psychologische Konnotation wie „wir betrachten“. ChurchVsQuine: der Ausdruck „ontologische Verpflichtung“ ist intensional. (>Intensionen)

XI 158
Ontologie/ontologische Verpflichtung/Quine/Lauener: Lauener: ungeklärtes Problem: das Verhältnis zwischen ontologischer Verpflichtung und Ontologie. Bsp zwei moderne chemische Theorien, eine impliziert die Existenz von Molekülen mit einer bestimmten Struktur, die andere leugnet sie. Frage: haben sie trotz unterschiedlicher Verpflichtung dieselbe Ontologie?
Quine/Lauener: würde vermutlich bejahen und sagen, dass eine der beiden Theorien falsch sein muss. (>Mark Wilson in „Words and Objections“.)
((s) Dann haben sie eher dieselbe Verpflichtung als dieselbe Ontologie).
LauenerVsQuine: meine Versuche, diese Probleme zu beheben lassen mich glauben, dass nicht nur die quantifizierten Variablen (mit den Gegenständen) sondern auch die Prädikate eine Rolle spielen.


Quine VII (a) 12
Ontologie: die gebundene Variable ist die einzige Möglichkeit, uns ontologische Verpflichtungen aufzuerlegen. Bsp Wir können schon sagen, dass es etwas (nämlich der Wert der gebundenen Variablen) ist, das rote Häuser und Sonnenuntergänge gemeinsam haben.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987

Q XI
H. Lauener
Willard Van Orman Quine München 1982
Referentielle Quantifikation Kripke III 377
Referentielle Quantifikation/Interpretation/KripkeVsSubstitutionalismus: Der Punkt ist, dass ein uninterpretiertes formales System genau das ist, was es ist: uninterpretiert! Dann ist es einfach unmöglich, nach der "richtigen Interpretation" zu fragen!
III 378
1. Kripke: Sicher gibt es bestimmte formale Systeme, die wohl referentielle Interpretation aber nicht substitutionale Interpretation erlauben. Bsp Quine: Wenn (Ex)φ(x) beweisbar ist aber ~φ(t) (Negation!) für jeden Ausdruck t beweisbar, der für x eingesetzt werden kann, so dass ein bedeutungsvoller Satz φ(t) entsteht, ist es offensichtlich unmöglich, dem System eine substitutionale Interpretation zu geben, aber wenn die Formationsregeln standardmäßig sind, und es formal konsistent ist, ist eine referentielle Interpretation möglich.
((s) Obwohl die referentielle Interpretation "ontologisch stärkere Annahmen" macht!).
Wenn ~φ(t) beweisbar ist für jeden Ausdruck in einer Klasse C, während ((s) gleichzeitig) (Ex)φ(x) beweisbar ist, ist es unmöglich, alle Theoreme wahr sein zu lassen und den Quantor als ersetzbar mit der Substitutionsklasse C zu interpretieren.
Diese Bedingungen sind hinreichend, aber zeigbar nicht notwendig, damit eine Theorie erster Stufe keine substitutionale Interpretation erhält, die alle Theoreme wahr macht.
2. Wie steht es mit dem konversen Problem? (Referentielle Interpretation ausgeschlossen aber substitutionale erlaubt):
Die autonyme Interpretation (s.o. Abschnitt 3, wo jeder Term sich selbst denotiert) könnte eine negative Antwort nahelegen. Und das wird ein Grund dafür sein, dass viele mathematische Logiker die substitutionale Quantifikation nicht als selbständiges modell-theoretisches Thema behandeln wollten.
KripkeVs: Dennoch kann es Fälle geben, wo die substitutionale Quantifikation geeigneter ist als die referentielle Quantifikation.
Bsp Wenn die Substitutionsklasse auf Sätzen von L0 besteht, führt eine referentielle Interpretation mit Sätzen als Substituten zu philosophischem Streit: Gehen die Variablen über Propositionen, über Sätze oder über Wahrheitswerte? Sind die Entitäten im Bereich, der von den Sätzen denotiert wird?
Verknüpfungen/Kripke: Verknüpfungen spielen jetzt nicht eine dreifache Rolle: als
a) Satzverknüpfungen, b) Funktionssymbole, c) Prädikate. Aber in Freges System spielen sie eine solche dreifache Rolle!

Kripke I
S.A. Kripke
Name und Notwendigkeit Frankfurt 1981

Kripke II
Saul A. Kripke
"Speaker’s Reference and Semantic Reference", in: Midwest Studies in Philosophy 2 (1977) 255-276
In
Eigennamen, Ursula Wolf Frankfurt/M. 1993

Kripke III
Saul A. Kripke
Is there a problem with substitutional quantification?
In
Truth and Meaning, G. Evans/J McDowell Oxford 1976

Kripke IV
S. A. Kripke
Outline of a Theory of Truth (1975)
In
Recent Essays on Truth and the Liar Paradox, R. L. Martin (Hg) Oxford/NY 1984
Substitutionale Quantifikation Hintikka II 171
Substitutionale Quantifikation/sQ/HintikkaVsSQ/HintikkaVsSubstitutionale Quantifikation/Hintikka: Substitutionale Quantifikation ist ein Scheinparadies, höchstens von formalem Interesse, es hat noch nie eine befriedigende Erklärung für sie gegeben. Beschreibung/Wissen/Russell: Wissen durch Beschreibung: Bsp Wir kennen Bismarck nicht. Wir wünschen uns zwar, dass der Gegenstand selbst eine Konstituente unserer Proposition wäre, aber das geht hier nicht. Wir wissen aber, dass es ein Objekt namens Bismarck gibt (Existenz).
Russell: Über diesen Bismarck wissen wir auch, dass er ein geschickter Diplomat ist.
Lösung/Russell: Dann können wir die Proposition beschreiben, die wir behaupten möchten.
Nämlich: „B war ein geschickter Diplomat“, wobei B das Objekt ist, das Bismarck ist (>logische Form).
Logische Form/Hintikka:
(15) (Eb)(b = Bismarck & wir urteilen, dass b ein geschickter Diplomat war)
„b“: Diese Variable hat dann aktuale Objekte (Gegenstände aus der aktualen Welt) als Werte.
Russell/Hintikka: Das zeigt, dass er nicht die Lösung (i) gewählt hat.
Allerdings sagt Russell bei anderer Gelegenheit zugegebenermaßen:
II 172
Beschreibung/Wissen/Russell/Hintikka: Wissen durch Beschreibung: Hier kennen wir Propositionen über den „so-und-so“ ohne zu wissen, wer oder was der so-und-so ist.

Hintikka I
Jaakko Hintikka
Merrill B. Hintikka
Untersuchungen zu Wittgenstein Frankfurt 1996

Hintikka II
Jaakko Hintikka
Merrill B. Hintikka
The Logic of Epistemology and the Epistemology of Logic Dordrecht 1989
Substitutionale Quantifikation Quine V 140
Substitutionale Quantifikation/sQ/Quine: ist für andere grammatische Kategorien als nur sing Term offen. Hat aber andere Wahrheitsbedingungen. - Referentielle Quantifikation/refQ: hier brauchen die Gegenstände nicht einmal durch Namen angebbar zu sein.
V 141
Sprachlernen/Spracherwerb: zuerst sQ: aus Relativpronomen. - später: refQ: wegen kategorischer Sätze. - sQ: wäre absurd: dass jeder eingesetzte Name, der "Fx" verifiziert, auch "Gx" verifiziert- absurd: daß jeder Apfel oder Kaninchen einen Namen oder eine singuläre Kennzeichnung haben müsste. - Die meisten Gegenstände haben keine Namen.
V 140
sQ/refQ/Wahrheitsbedingungen/Quine: referentielle Allquantifikation: kann durch einzelnen Gegenstand falsifiziert werden, auch wenn dieser nicht mit Namen angebbar ist. - Die gleiche substitutionale Allquantifikation: bleibt dagegen wahr. - Existenzquantifikation: referentielle: kann wegen eines nicht angebbaren Wertes wahr sein. - Die gleiche im substitutionalen Sinn: gilt nicht, mangels eines angebbaren Beispiels.
V 146f
sQ/Quine: Problem: Blinder Fleck: substitutionale Allquantifikation: Bsp keiner der Einsetzungsfälle ist abzulehnen, aber einige verlangen Enthaltung. - Existenzquantifikation: Bsp keinem der Fälle ist zuzustimmen, in einigen aber Enthaltung angebracht.- dann weder zustimmen noch sich enthalten. (Entspricht der Alternation).
V 175
Zahlen/Klassen/Quantifikation/Ontologie/substitutionale Quantifikation/Quine: zunächst Einsetzungs-Quantifikation über Zahlen und Klassen. - Problem: Zahlen und Klassen sind dann nicht eliminierbar. - Kann auch als Gegenstands-Quantifikation (refQ) genommen werden, wenn man zulässt, dass jede Zahl einen Nachfolger hat. - ((s) bei sQ müsste jeder einen Namen haben.) Klassenquantor wird zum Gegenstands-Quantor, wenn man die Vertauschung der Quantoren zulässt (Allquantifikation/Existenzquantifikation - EQu/AQu). - Damit wurde das Gesetz der Einer-Teilklassen eingeführt.
X 124
Substitutionale Quantifikation//Einsetzungs-Quantifikation/Quine: verlangt Namen für die Werte der Variablen. - refQ/(s) spricht höchstens von Gegenständen. Def Wahrheit/sQ/Barcan/Quine: Einsetzungs-Quantifikation ist wahr gdw. mindestens einer ihrer Fälle, der durch Weglassen des Quantors und Einsetzen eines Namens für die Variable gewonnen wird, wahr ist. - Problem: fast nie genug Namen für die Gegenstände einer nicht allzu beschränkten Welt. - Bsp keine Gödelnummern für irrationale Zahlen. - Dann kann sQ falsch sein, weil es keinen Namen für den Gegenstand gibt, die referentielle Quantifikation aber gleichzeitig wahr - also beide nicht extensionsgleich.
X 124
Namen/Logik/sQ/Quine: Problem: nie genug Namen für alle Gegenstände der Welt: Bsp wenn eine Menge von keinem offenen Satz bestimmt wird, hat sie auch keinen Namen. - Sonst Bsp Name "a", Bestimmung: "x ε a". - Bsp irrationale Zahlen können nicht auf ganze Zahlen zurückgeführt werden. - ((s) >Substitutionsklasse).
XII 79f
Substitutionale Quantifikation//Quine: hier sind die variablen Platzhalter für Wörter beliebiger syntaktischer Kategorien (außer Namen) - Pointe: dann gibt es keine Möglichkeit, Namen vom übrigen Vokabular und echt referentielle Variablen
XII 80
von anderen zu unterscheiden. (Ununterscheidbarkeit). Substitutionale Quantifikation//Quine: Problem: angenommen unendlicher Bereich benannter Gegenstände. - Dann ist es möglich, für jedes Einsetzungsergebnis eines Namens die Wahrheit einer Formel zu zeigen und gleichzeitig die Allquantifikation der Formel zu widerlegen. - (>jeder/alle). - Dann haben wir gezeigt, dass der Bereich mindestens einen namenlosen Gegenstand hat. - ((s)(> nicht genug Namen). - Daher QuineVsSubstitutionale Quantifikation: Bsp angenommen, der Bereich enthalte die reellen Zahlen. - Dann sind nicht alle benennbar, aber die unbenannten lassen sich nicht separieren. - Die Theorie kann immer verstärkt werden, um eine bestimmte Zahl zu benennen, aber nicht alle. - Referentielle Quantifikation: spricht sich selbst namenlose Gegenstände zu. - Trick: (s.o.) jedes Einsetzungsergebnis mit Namen wahr, aber Allquantifikation falsch machen. ((s) Damit sind unendlich viele Gegenstände gesichert). - Eine Theorie der reellen Zahlen muss auf referentieller Quantifikation basieren.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987
Zahlentheorie Quine IX 81
Elementare Zahlentheorie/Quine: darunter versteht man die Theorie, die nur mit den Begriffen "Null, Nachfolger, Summe, Potenz, Produkt, Identität" und mit Hilfe der a.l. Verknüpfungen und der Quantifikation über natürliche Zahlen ausgedrückt werden kann. Man kann die ersten vier dieser Punkte weglassen oder die beiden ersten und den fünften.
Die ausführlichere Liste ist aber bequem, weil das klassische Axiomensystem unmittelbar dazu passt.
Quine: unsere quantifizierbaren Variablen lassen noch andere Objekte als Zahlen zu.
Wir werden jetzt aber stillschweigend eine Begrenzung auf "x ε N" einführen.
Elementare Zahlentheorie/Quine: kleiner/gleich: ist hier überflüssig. "Ez(x + z = y)" - x ε N > Λ + x = x. - x,y ε N >{x} + y = {x+y}.

IX 239
Relative Stärke/Beweistheorie/Theorie/Beweisbarkeit/Quine: Gödel, Unvollständigkeitssatz (1931). Da die Zahlentheorie in der Mengenlehre entwickelt werden kann, bedeutet das, dass die Klasse aller Theoreme
IX 239
(in Wirklichkeit aller Gödelnummern von Theoremen) einer vorliegenden Mengenlehre in dieser selben Mengenlehre definiert werden kann, und verschiedene Dinge können darin über sie bewiesen werden. Unvollständigkeitssatz: als seine Folge zeigte Gödel aber, dass die Mengenlehre (falls sie widerspruchsfrei ist) eines nicht über die Klasse ihrer eigenen Theoreme beweisen kann, nämlich, dass sie widerspruchsfrei ist, d.h. z.B. dass "0 = 1" nicht in ihr liegt.
Wenn die Widerspruchsfreiheit einer Mengenlehre in einer anderen bewiesen werden kann, ist letztere die stärkere (es sei denn, dass beide widerspruchsvoll sind). Zermelos System ist stärker als die Typentheorie.


II 178
Die elementare Zahlentheorie ist der bescheidene Teil der Mathematik, der sich mit der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen beschäftigt. Egal, einige wahre Aussagen werden unbeweisbar bleiben. Dies ist der Kern des Gödelschen Satzes. Er hat gezeigt, wie man bei beliebigem gegebenen Beweisverfahren rein in der dürftigen Notation der elementaren Zahlentheorie einen Satz bilden kann, der sich dann und nur dann beweisen lässt, wenn er falsch ist. Doch halt! Der Satz kann nicht bewiesen werden und dennoch falsch sein. Also ist er wahr, aber nicht beweisbar.
Quine: wir pflegten zu glauben, dass mathematische Wahrheit in Beweisbarkeit besteht. Nun sehen wir, dass diese Ansicht für die Mathematik als ganze unhaltbar ist.
II 179
Gödels Unvollständigkeitssatz hat sich, (die dort angewandten Techniken) in anderen Gebieten als nützlich erwiesen: Rekursive Zahlentheorie oder kurz Rekursionstheorie. Oder Hierarchientheorie.
III 311
Elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: hat nicht einmal ein vollständiges Beweisverfahren. Beweis: reductio ad absurdum: Angenommen, wir hätten es, mit dem man jeden wahren Satz in der Schreibweise der eZT beweisen könnte,
III 312
Dann gäbe es auch ein vollständiges Widerlegungsverfahren: um einen Satz zu widerlegen beweise man seine Negation. Aber dann könnten wir das Beweis und Widerlegungsverfahren von Seite III 247 Mitte zu einem Entscheidungsverfahren kombinieren.
V 165
Substitutionale Quantifikation/referentielle Quantifikation/Zahlen/Quine: Dilemma: die substitutionale Quantifikation verhilft der elementaren Zahlentheorie zu keiner ontologischen Sparsamkeit, den entweder gehen die Zahlen aus oder es gibt unendlich viele Zahlzeichen. Wenn die erklärende Rede von unendlich vielen Zahlzeichen selbst wieder im Einsetzungs Sinn zu verstehen ist, stehen wir vor einem mindestens so schweren Problem wie dem der Zahlen – wenn sie im Sinne der referentiellen Quantifikation zu verstehen ist, dann könnte man sich auch von vornherein unkritisch mit Gegenstands Quantifikation über Zahlen zufrieden geben.
V 166
Wahrheitsbedingungen: wenn man nun substitutionale Quantifikation annimmt, kann man die Wahrheitsbedingungen für sie über Zahlen tatsächlich erklären, indem man nur von Zahlzeichen und ihrer Einsetzung spricht. Problem: wenn die Zahlzeichen ihren Zweck erfüllen sollen, müssen sie so abstrakt wie die Zahlen sein.
Ausdrücke, von denen es unendlich viele geben soll, könnte man mit ihren Gödelnummern identifizieren. Keine andere Betrachtungsweise führt zu einer spürbaren Verringerung der Abstraktheit.
Substitutionale Quantifikation: zwingt zum Verzicht auf das Gesetz, dass jede Zahl einen Nachfolger hat. Eine Zahl wäre die letzte, aber der sQ Theoretiker wüsste nicht, welche. Es würde von tatsächlichen Inskriptionen in der Gegenwart und Zukunft abhängen. (Quine/Goodman 1947).
Das wäre ähnlich wie die Theorie der herstellbaren Zahlen von Esenin Volpin: man hätte eine unbekannte endliche Schranke.
V 191
QuineVsSubstitutionale Quantifikation: die einzusetzenden Ausdrücke sind ebenso abstrakte Entitäten wie die Zahlen selbst.
V 192
NominalismusVsVs: man könnte die Ontologie der reellen Zahlen oder Mengenlehre auf die der elementaren Zahlentheorie reduzieren, indem man Wahrheitsbedingungen für die sQ anhand von Gödelzahlen aufstellt. QuineVs: das ist nicht nominalistisch, sondern pythagoräisch. Es geht da nicht um die Hochschätzung des Konkreten und Abscheu vor dem Abstrakten, sondern um die Hinnahme der natürlichen Zahlen und die Verwerfung der meisten transzendenten Zahlen. Wie Kronecker sagt: „Die natürlichen Zahlen schuf Gott, die anderen sind Menschenwerk“.
QuineVs: aber auch das geht nicht, wir sahen oben, dass die sQ über Klassen grundsätzlich nicht vereinbar mit der Gegenstands Quantifikation über Gegenstände ist.
V 193
VsVs: man könnte doch auch die Quantifikation über Gegenstände so auffassen. QuineVs: das ging nicht, weil es nicht genug Namen gibt. Zwar könnte man Raumzeit Koordination beibringen, aber das erklärt nicht das Sprachlernen.

X 79
Gültigkeit/Satz/Menge/Schema/Quine: wenn Mengen und Sätze derart auseinander fallen, sollte es einen Unterschied zwischen diesen beiden Definitionen der Gültigkeit (Über Schema (mit Sätzen) bzw. Modelle (mit Mengen) geben. Aber aus dem Satz von Löwenheim folgt, dass die beiden Definitionen der Gültigkeit (über Sätze, bzw. Mengen) nicht auseinanderfallen, solange die Objektsprache nicht allzu ausdrucksschwach (ausdrucksarm) ist. Bedingung: die Objektsprache muss die elementare Zahlentheorie ausdrücken können. (enthalten).
Objektsprache: In einer solchen Sprache wird ein Schema, das bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr bleibt, auch von allen Modellen erfüllt und umgekehrt.
Die Forderung der elementaren Zahlentheorie ist ziemlich schwach.
Def elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: spricht über die positiven ganzen Zahlen mit Hilfe der Addition, Multiplikation, Identität, Wahrheitsfunktionen und Quantifikation.
Standardgrammatik/Quine: die Standardgrammatik würde die Funktoren der Addition, Multiplikation, wie die Identität, durch geeignete Prädikate ausdrücken.
X 83
Elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: ist zwar ähnlich wie die Theorie der endlichen n tupel effektiv einem gewissem Teil der Mengenlehre äquivalent, aber nur der Theorie der endlichen Mengen.
XI 94
Übersetzungsunbestimmtheit/Quine/Harman/Lauener: („Words and Objections): Bsp Übersetzung der Zahlentheorie in die Sprache der Mengenlehre von Zermelo bzw. v. Neumann: beide Versionen übertragen wahre bzw. falsche Sätze der Zahlentheorie in wahre bzw. falsch Sätze der Mengenlehre. Nur die Wahrheitswerte von Sätzen wie Bsp „Die Zahl zwei hat genau ein Element“,
die vor der Übersetzung keinen Sinn hatten, weichen in beiden Systemen voneinander ab. ( XI 179 :Er ist wahr in von Neumanns und falsch in Zermelos System, in der Zahlentheorie ist er sinnlos).
XI 94
Da sie beide in gleicher Weise sämtliche Zwecke der Zahlentheorie erfüllen, ist es nicht möglich, eine von beiden als richtige Übersetzung auszuzeichnen.

Quine I
W.V.O. Quine
Wort und Gegenstand Stuttgart 1980

Quine II
W.V.O. Quine
Theorien und Dinge Frankfurt 1985

Quine III
W.V.O. Quine
Grundzüge der Logik Frankfurt 1978

Quine V
W.V.O. Quine
Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989

Quine VI
W.V.O. Quine
Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995

Quine VII
W.V.O. Quine
From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953

Quine VII (a)
W. V. A. Quine
On what there is
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (b)
W. V. A. Quine
Two dogmas of empiricism
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (c)
W. V. A. Quine
The problem of meaning in linguistics
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (d)
W. V. A. Quine
Identity, ostension and hypostasis
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (e)
W. V. A. Quine
New foundations for mathematical logic
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (f)
W. V. A. Quine
Logic and the reification of universals
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (g)
W. V. A. Quine
Notes on the theory of reference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (h)
W. V. A. Quine
Reference and modality
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VII (i)
W. V. A. Quine
Meaning and existential inference
In
From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953

Quine VIII
W.V.O. Quine
Bezeichnung und Referenz
In
Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982

Quine IX
W.V.O. Quine
Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967

Quine X
W.V.O. Quine
Philosophie der Logik Bamberg 2005

Quine XII
W.V.O. Quine
Ontologische Relativität Frankfurt 2003

Quine XIII
Willard Van Orman Quine
Quiddities Cambridge/London 1987