I XIV
Klassen/Begriffe/Gödel: Klassen und Begriffe können (...) auch als reale Objekte aufgefasst werden, nämlich als "Vielheiten von Dingen" und Begriffe als Eigenschaften oder Relationen von Dingen, die unabhängig von unseren Definitionen und Konstruktionen existieren. - Das ist genauso legitim wie die Annahme physikalischer Körper. - Sie sind auch für Mathematik notwendig, so wie sie es für die Physik sind.
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Platonismus, >
Universalien, >
Mathematische Entitäten, vgl. >
Hartry Fields Antiplatonismus.
I XVIII
Menge/Gödel: realistisch: Klassen existieren, der Zirkelfehler ist gar kein Fehler, auch nicht, wenn konstruktivistisch aufgefasst. Gödel aber nichtkonstruktivistisch.
Russell: Klassen sind nur facon de parler, nur Klassennamen, Begriff, keine wirklichen Klassen.
I XVIII
Klassennamen/Russell: eliminieren durch Übersetzungsregeln.
I XVIII
Klassen/Principia Mathematica
(1)/PM/Russell/Gödel: Principia kommen so ohne Klassen aus, aber nur wenn man die Existenz eines Begriffs annimmt, wann immer man eine Klasse konstruieren möchte - Bsp "rot" oder "kälter" müssen als reale Objekte angesehen werden.
I 37
Klasse/Principia Mathematica/Russell: Die durch die Funktion φ x^ gebildete Klasse soll durch z^ (φ z) dargestellt werden.
Bsp wenn φ x eine Gleichung ist, wird z^(φ z) die Klasse ihrer Wurzeln sein - Bsp wenn φ x bedeutet: "x hat zwei Beine und keine Federn", wird z^(φ z) die Klasse der Menschen sein.
I 120
Klasse/Principia Mathematica/Russell: unvollständiges Symbol.
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Unvollständiges Symbol.
Funktion: vollständiges Symbol - daher keine Transitivität, wenn Klassen für Variablen eingesetzt werden - Bsp x = y . x = z . > . y = z (Transitivität) ist eine Aussagenfunktion, die immer gilt - nicht aber, wenn wir für x eine Klasse und für y und z Funktionen einsetzen! - Bsp "z^( φ z ) = y ! z^" ist kein Wert von "x = y" - weil Klassen unvollständige Symbole sind.
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Aussagenfunktion.
1. Whitehead, A.N. and Russel, B. (1910). Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press.
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Flor III 117
Klassen/Mengen/Dinge/Gegenstände/Russell/Flor: Mengen dürfen nicht als Dinge aufgefasst werden - sonst hätten wir bei n Dingen immer auch 2
n Dinge (Kombinationen. - D.h. wir hätten mehr Dinge, als wir schon haben.)
Lösung: Wir müssen Klassensymbole aus Ausdrücken eliminieren - statt dessen Bezeichnungen für Aussagenfunktionen.
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Klassenabstraktion/Quine.
