Schwarz I 75
Mengenlehre/Mereologie/Lewis: (Parts of Classes, 1991)
(1): Sind Mengen einfach mereologische Summen? Dabei erweist sich Mentenlehre als mereologisch erweiterte Arithmetik, mit Nachfolgerrelation, eine Mengenbeziehung zwischen Ding A und seiner Einermenge {A}.
Durch eine strukturelle Analyse dieser Beziehung führt Lewis am Ende die ganze Mathematik auf die Annahme zurück, dass es sehr viele Dinge gibt.
Vgl. >
Mereologie/Lewis.
Schwarz I 78
Klassische Mengenlehre/ML/Schwarz: Mengen bilden eine hierarchische Struktur (kumulativ oder iterativ).
Unterste Stufe: Dinge, die keine Mengen sind, sind „Individuen“ oder „Urelemente“.
Reine Mengenlehre: Bei der reinen Mengenlehre ist die unterste Stufe leer (keine Individuen, nichts außerhalb von Mengen, nichts ist keine Menge!)
>
Individuum/Lewis.
Omega/ω/Mengenlehre/Schwarz: Auf ω liegen alle Mengen, deren Elemente auf einer der endlichen Stufen vorkommen. Auf ω+1 gibt es Mengen, deren Elemente auf w oder darunter liegen usw. bis ω + ω (=ω * ω) gefolgt ω * 2 + 1 usw.
Menge die sich selbst enthält/Russells Paradoxie/Schwarz: Eine Menge, die sich selbst enthält, wird durch die Hierarchie ausgeschlossen. Sie müsste bereits auf einer Stufe unterhalb der Stufe, auf der sie zum ersten mal vorkommt, vorgekommen sein.
Dann gibt es auch keine Mengen aller Mengen die sich nicht selbst enthalten, denn das wäre nichts anderes als die Menge aller Mengen.
Vgl. >
Russellsche Paradoxie.
Schwarz I 79
Nicht-naive Mengenlehre/Schwarz: Bei der nicht-naiven Mengenlehre bilden Dinge nur dann eine Menge, wenn sie nicht zu viele sind, d.h. wenn sie nicht eins zu eins mit allen Mengen korrespondieren. Das motiviert das Auswahlaxiom (AA) und das Ersetzungsaxiom.
Schwarz I 79ff
Klassische Mengenlehre: In der klassischen Mengenlehre sind Element und Menge undefiniert.
Schwarz I 80
Mengenlehre/Mereologie/Lewis: (Parts of Classes, 1. Teil)
(1): These: Mengen und Klassen sind sehr wohl mereologische Summen. Aber die Teile sind eben nicht Elemente sondern Teilmengen. Hauptthese:
(HT): x ist Teilklasse von y, gdw. y eine Klasse ist und x ist Teil von y (1991
(1), §1, 3).
Schwarz I 93
Mengenlehre/Eigenschaften/VsLewis/Schwarz: Lewis hat ein ähnliches Problem: Nach seinem mengentheoretischen Strukturalismus bezieht sich ein Ausdruck wie „{A, B, C}“ nicht auf ein ganz bestimmtes Ding, die Klasse aus A, B und C. Klassen sind relativ zu Einermengenbeziehungen und Einermengenbeziehungen gibt es wie Sand am Meer.
Aussagen über Klassen - und damit auch über Eigenschaften – sind nach Lewis eigentlich Plural-Quantifikationen über Einermengenbeziehungen (2002a
(4), §5, (1986e
(2), 52 Fn 39).
Quantifikation über Eigenschaften wäre dann Plural-Quantifikation über Einzeldinge, Bsp dass ein Ding rot ist, dass es eins der roten Dinge ist.
Schwarz I 94
SchwarzVsLewis: Lewis sagt nicht, wie das bei Relationen funktionieren soll.
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V 346
"Nominalistic Set Theory" (1970d)
(3)/Nominalistische Mengenlehre/Lewis: Wenn man den Individuenkalkül und eine Relation der Nachbarschaft zwischen Atomen als Grundbegriffe annimmt, ist es möglich, eine Pseudo Elementbeziehung zwischen Individuen zu definieren.
1. David Lewis [1991]: Parts of Classes. Oxford: Blackwell.
2. David Lewis [1986e]: On the Plurality of Worlds. Malden (Mass.): Blackwell.
3. David Lewis [1970d]: “Nominalistic Set Theory”. Nous, 4.
4. David Lewis [2002a]: “Tensing the Copula”. Mind, 111: 1–13.
